Đề bài
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\dfrac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[ABC\]có hai đường trung tuyến\[BD, CE\]và\[BD = CE.\]Gọi\[G\]là giao điểm\[BD\]và\[CE.\]
Khi đó, G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra:
\[\displaystyle BG = {2 \over 3}B{\rm{D}}\][tính chất đường trung tuyến]
\[\displaystyle CG = {2 \over 3}CE\][tính chất đường trung tuyến]
Mà\[BD = CE\]
Suy ra:\[BG = CG\]
\[ \Rightarrow BG + GD = CG + GE\]
\[ \Rightarrow GD = GE\]
Xét\[BGE\]và\[CGD:\]
+] \[BG = CG\][chứng minh trên]
+] \[\widehat {BGE} = \widehat {CG{\rm{D}}}\][đối đỉnh]
+] \[GE = GD\][chứng minh trên]
Do đó:\[BGE = CGD\][c.g.c]
\[ \Rightarrow BE = CD\] [1]
\[\displaystyle BE = {1 \over 2}AB\][vì \[E\]là trung điểm \[AB]\] [2]
\[\displaystyle C{\rm{D = }}{1 \over 2}AC\][vì \[D\]là trung điểm \[AC]\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra:\[AB = AC.\]
Vậy\[ABC\]cân tại\[A.\]