Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng:
\[\overrightarrow {G{\rm{D}}} .\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} .\overrightarrow {GC} = 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng lý thuyết: \[G\]là trọng tâm của tam giác\[ABC\]nên \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\].
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {G{\rm{D}}} .\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} .\overrightarrow {GC} \cr
& = \overrightarrow {GD} .\left[ {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right] \cr
& = \overrightarrow {GD} .\overrightarrow 0 = 0 \cr} \]
[Vì \[G\]là trọng tâm của tam giác \[ABC\]nên \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\] ]