Đề bài
Xét tính liên tục của hàm số
\[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{{{x^2} + 5x + 4} \over {{x^3} + 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne - 1 \hfill \cr
1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = - 1 \hfill \cr} \right.\] trên tập xác định của nó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính liên tục của hàm số tại \[x=-1\] và kết luận.
Lời giải chi tiết
Khi \[x\ne -1\] thì \[f[x]\] là hàm phân thức nên liên tục trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^3} + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 4} \right]}}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} - x + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x + 4}}{{{x^2} - x + 1}}\\ = \dfrac{{ - 1 + 4}}{{{{\left[ { - 1} \right]}^2} - \left[ { - 1} \right] + 1}}\\ = 1\end{array}\]
Mà \[f\left[ { - 1} \right] = 1\] nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left[ x \right] = f\left[ { - 1} \right] = 1\]
Vậy hàm số đã cho liên tục tại \[x = - 1\].
Do đó hàm số liên tục trên R.