- LG a
- LG b
Chứng minh các đẳng thức sau [với \[n \in N*\] ]
LG a
\[2 + 5 + 8 + ... + \left[ {3n - 1} \right] = \dfrac{{n\left[ {3n + 1} \right]}}{2};\]
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n \in {\mathbb{N}^*}\], ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \[n = 1\].
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \[n = k\left[ {k \ge 1} \right]\] và chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n = k + 1\].
Lời giải chi tiết:
Đặt vế trái bằng \[{S_n}.\]
Với \[n = 1,\] ta có:
\[\begin{array}{l}
VT = {S_1} = 2\\
VP = \frac{{1.\left[ {3.1 + 1} \right]}}{2} = 2\\
\Rightarrow VT = VP
\end{array}\]
Hệ thức đúng.
Giả sử đã có \[{S_k} = \dfrac{{k\left[ {3k + 1} \right]}}{2}\] với \[k \ge 1.\]
Ta phải chứng minh \[{S_{k + 1}} = \frac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {3\left[ {k + 1} \right] + 1} \right]}}{2}= \frac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {3k + 4} \right]}}{2}.\]
Thật vậy
\[{S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left[ {k + 1} \right] - 1\] \[ = \dfrac{{k\left[ {3k + 1} \right]}}{2} + 3k + 2\] \[ = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\] \[ = \dfrac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2}\] \[{\rm{ = }}\dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {3k + 4} \right]}}{2}\left[ {dpcm} \right]\]
LG b
\[3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left[ {{3^{n + 1}} - 3} \right].\]
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n \in {\mathbb{N}^*}\], ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \[n = 1\].
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \[n = k\left[ {k \ge 1} \right]\] và chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n = k + 1\].
Lời giải chi tiết:
Đặt \[{S_n} = 3 + 9 + 27 + ... + {3^n}\].
Với \[n = 1\] thì \[{S_1} = 3 = \dfrac{1}{2}\left[ {{3^2} - 3} \right]\] nên đúng.
Giả sử có \[{S_k} = \dfrac{1}{2}\left[ {{3^{k + 1}} - 3} \right]\], \[k \ge 1\].
Ta chứng minh \[{S_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left[ {{3^{k + 1 + 1}} - 3} \right]= \frac{1}{2}\left[ {{3^{k + 2}} - 3} \right]\].
Thật vậy:
\[{S_{k + 1}} =S_k+3^{k+1}= \dfrac{1}{2}\left[ {{3^{k + 1}} - 3} \right] + {3^{k + 1}}\] \[ = \dfrac{3}{2}{.3^{k + 1}} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {{3^{k + 2}} - 3} \right]\].
Vậy ta có đpcm.