Đề bài
Cho tam giác cân \[ABC\] có \[\widehat B = {120^\circ},\] \[AC = 6cm.\] Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
+] Trong giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
+] Trong một đường tròn, góc nội tiếp [nhỏ hơn hoặc bằng \[90^\circ\]] có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
+] Độ dài \[C\] của một đường tròn bán kính \[R\] được tính theo công thức: \[C=2\pi R\]
Lời giải chi tiết
Vẽ đường tròn \[[O]\] ngoại tiếp tam giác \[ABC\]
\[ABC\] cân có \[\widehat B = 120^\circ\] nên \[ABC\] cân tại \[B\]
\[ \Rightarrow \widehat A = \widehat C = \displaystyle{{{{180}^\circ} - \displaystyle {{120}^\circ}} \over 2} = {30^0}\]
Kẻ \[BH \bot AC\]\[ \Rightarrow AH = HC = \displaystyle{1 \over 2}AC = 3\] \[[cm]\]
Trong tam giác vuông \[BHA\] ta có \[\widehat {BHA} = {90^0}\] có:
\[AB =\displaystyle {{AH} \over {\cos A}} \]\[=\displaystyle {3 \over {\cos {{30}^0}}} \]\[= \displaystyle{3 \over {\displaystyle{{\sqrt 3 } \over 2}}}\]\[= 2\sqrt 3 \;\;[cm]\]
Xét đường tròn \[[O]\] có: \[\widehat C = \displaystyle{1 \over 2}\widehat {AOB}\] [hệ quả góc nội tiếp]
\[ \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat C = {2.30^0} = {60^0}\]
\[OA = OB\] [bán kính]
Suy ra \[AOB\] đều nên \[OA = OB = 2\sqrt 3 \; [cm]\]
Độ dài đường tròn ngoại tiếp \[ABC\]
\[C = 2\pi R\]\[ = 2\pi .2\sqrt 3 = 4\pi \sqrt 3 \] \[[cm]\]