Đề bài
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng \[4x + 3y - 12z + 1 = 0\]và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Viết dạng phương trình mặt phẳng [P].
[P] tiếp xúc [S] khi d[I,[P]]=R.
Lời giải chi tiết
Ta có \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0 \]
\[\Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 16\]
Mặt cầu có tâm \[I\left[ {1;2;3} \right]\] bán kính R = 4.
Mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng đã cho nên có phương trình \[4x + 3y - 12z + D = 0\] với \[D \ne 1\].
Mp[P] tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách d từ điểm I đến mp[P] bằng bán kính R.
\[d = {{\left| {4 + 6 - 36 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4 \Leftrightarrow {{\left| { - 26 + D} \right|} \over {13}} = 4 \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 26 + D = 52 \hfill \cr
- 26 + D = - 52 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
D = 78 \hfill \cr
D = - 26 \hfill \cr} \right.\]
Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là: \[4x + 3y - 12z + 78 = 0\]
\[4x + 3y - 12z - 26 = 0\]