- LG a
- LG b
LG a
Tìm tập hợp các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm \[O\] tiếp xúc với ba cạnh \[AB, BC, CA\] của tam giác \[ABC\] lần lượt tại các điểm \[I, J, K\] khi và chỉ khi \[OI \bot AB\,\,,\,\,OJ \bot BC\,\,,\,\,OK \bot CA\], \[OI = OJ = OK\,\, \in \left[ * \right]\]
Gọi \[O\] là hình chiếu vuông góc của \[O\] trên mp \[[ABC]\] thì các điều kiện [*] tương đương với \[O'I \bot AB\,\,,\,\,O'J \bot BC\,\,,\,\,O'K \bot CA,\] \[O'I = O'J = O'K\] hay \[O\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].
Từ đó suy ra tập hợp các điểm \[O\] là trục của đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].
LG b
Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện \[ABCD\] thì \[AB + CD = AC + BD = AD + BC\]
Lời giải chi tiết:
Giả sử mặt cầu \[[S]\] nội tiếp với các cạnh \[AB, BC, CD, DA, AC, BD\] lần lượt tại \[P, Q, R, S, T, U\].
Ta cần chứng minh: \[AB + CD = AC + BD = AD + BC\]
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:
\[\eqalign{
& AB + CD = AP + PB + CR + RD \cr
& = AT + BU + CT + DU \cr
& = \left[ {AT + TC} \right] + \left[ {BU + UD} \right] \cr &= AC + BD \cr} \]
Vậy \[AB + CD = AC + BD\]
Chứng minh tương tự \[AC + BD = AD + BC\]
Vậy \[AB + CD = AC + BD = AD + BC\].