- LG a
- LG b
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [H] của hàm số
\[y = x + 1 + {4 \over {x + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
+] Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} y = - \infty \] nên TCĐ: \[x = - 1\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left[ {x + 1} \right]} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0\] nên TCX: \[y = x + 1\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{4}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2} - 4}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {x + 1} \right]^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\]
BBT:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - \infty ; - 3} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\].
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - 3; - 1} \right]\] và \[\left[ { - 1;1} \right]\].
Hàm số đạt cực đại tại \[x = - 3,{y_{CD}} = - 4\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\], \[{y_{CT}} = 4\].
+] Đồ thị:
LG b
Chứng minh rằng với mọi giao điểm I của hai đường tiệm cận của [H] làm tâm đối xứng của [H].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[I\] là giao điểm hai đường tiệm cận.
Tọa độ của I thỏa mãn: \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow I\left[ { - 1;0} \right]\].
Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \[\overrightarrow {OI} \] là \[\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y\end{array} \right.\]
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ \[IXY\] là:
\[\begin{array}{l}Y = X - 1 + 1 + \frac{4}{{X - 1 + 1}}\\ \Leftrightarrow Y = X + \frac{4}{X}\end{array}\]
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc \[I\] làm tâm đối xứng.