Đề bài
Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh \[2R\].
a] Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b] Tính thể tích của khối trụ.
c] Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng đi qua \[OO\] của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông \[ABCD\] cạnh \[2R\], do đó bán kính đáy bằng \[R\] và đường sinh \[AD = 2R\].
a] Ta có:
\[\eqalign{
& {S_{xq}} = 2\pi .R.2R = 4\pi {R^2} \cr
& {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} \cr &= 4\pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 6\pi {R^2} \cr} \]
b] Thể tích của khối trụ là \[V = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}\].
c] Hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ cạnh bên bằng \[2R\]
Đáy lăng trụ là hình vuông có đường chéo AC=BD=2R như hình vẽ.
Khi đó OA=OB=R nên \[AB=R\sqrt 2 \]
Thể tích lăng trụ tứ giác đều là \[{V_{LT}} = [R\sqrt 2]^2.2R = 4{R^3}\].