- LG a
- LG b
Cho hàm số: \[y = {x^4} - \left[ {m + 1} \right]{x^2} + m\]
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với \[m = 2\].
Lời giải chi tiết:
Với \[m = 2\] ta có: \[y = {x^4} - 3{x^2} + 2\]
TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr
& y' = 4{x^3} - 6x\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.\cr&y\left[ 0 \right] = 2;\,y\left[ { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right] = - {1 \over 4} \cr} \]
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \sqrt {\frac{3}{2}} ;0} \right]\] và \[\left[ {\sqrt {\frac{3}{2}} ; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - \sqrt {\frac{3}{2}} } \right]\] và \[\left[ {0;\sqrt {\frac{3}{2}} } \right]\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0\] và \[{y_{CD}} = 2\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} \] và \[{y_{CT}} = - \frac{1}{4}\]
\[y'' = 12{x^2} - 6\]
\[y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y\left[ { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right] = {3 \over 4}\]
Đồ thị có hai điểm uốn : \[{I_1}\left[ { - \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right]\] và \[{I_2}\left[ {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right]\]
Điểm đặc biệt
\[y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr
x = \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\]
Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
LG b
Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của \[m\].
Lời giải chi tiết:
Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \[\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\] khi và chỉ khi
\[{y_o} = x_o^4 - \left[ {m + 1} \right]x_o^2 + m \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {y_o} = x_o^4 - mx_o^2 - x_o^2 + m\\
\Leftrightarrow {y_o} = x_o^4 - x_o^2 + m\left[ {1 - x_o^2} \right]
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow \left[ {1 - x_o^2} \right]m + x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0\,\,\left[ 1 \right]\]
Đồ thị đi qua điểm\[\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\]với moi giá trị của \[m\] khi và chỉ khi phương trình \[[1]\] nghiệm đúng với mọi \[m\], tức là:
\[ \left\{ \begin{array}{l}
1 - x_o^2 = 0\\
x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x_o} = 1\\
{x_o} = - 1
\end{array} \right.\\
-{y_o} = 0
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = 1 \hfill \cr
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\text{ hoặc }\,\,\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = - 1 \hfill \cr
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\]
Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định \[[-1;0]\] và \[[1;0]\].