- LG a
- LG b
Chứng minh rằng:
LG a
Hàm số \[y = {{x - 2} \over {x + 2}}\]đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \[D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\]
\[\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left[ {x - 2} \right]'\left[ {x + 2} \right] - \left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]'}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\\
= \frac{{1.\left[ {x + 2} \right] - \left[ {x - 2} \right].1}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\\
= \frac{{ 4}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2
\end{array}\]
Do đó, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - \infty ; - 2} \right]\]và \[\left[ { - 2; + \infty } \right]\].
LG b
Hàm số \[y = {{ - {x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\]nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \[D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
\[y' = \frac{{\left[ { - {x^2} - 2x + 3} \right]'\left[ {x + 1} \right] - \left[ { - {x^2} - 2x + 3} \right]\left[ {x + 1} \right]'}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\]
\[= {{\left[ { - 2x - 2} \right]\left[ {x + 1} \right] - \left[ { - {x^2} - 2x + 3} \right]} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} \]
\[= {{ - {x^2} - 2x - 5} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = \frac{{ - \left[ {{x^2} + 2x + 1} \right] - 4}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} \] \[= \frac{{ - {{\left[ {x + 1} \right]}^2} - 4}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}< 0\] với mọi \[x \ne - 1\].
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\].