Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], \[AB = c,\,AC = b\]. Gọi \[{V_1},{V_2},{V_3}\] là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó [kê cả các điểm trong] khi lần lượt quay quanh \[AB, AC, BC\].
a] Tính \[{V_1},{V_2},{V_3}\] theo \[b, c\].
b] Chứng minh rằng \[{1 \over {V_3^2}} = {1 \over {V_1^2}} + {1 \over {V_2^2}}\]
Lời giải chi tiết
a] Khi quay tam giác \[ABC\] quanh \[AB\] ta được khối nón có chiều cao \[AB = c\] và bán kính đáy \[AC = b\] nên có thể tích \[V_1 = {1 \over 3}\pi c{b^2}\]
Tương tự khi quay tam giác \[ABC\] quanh \[AC\] ta được khối nón có thể tích \[{V_2} = {1 \over 3}\pi b{c^2}\]
Gọi \[AH\] là chiều cao của tam giác \[ABC\]. Khi quay tam giác \[ABC\] quanh \[BC\] ta được hai khối nón sinh bởi hai tam giác \[ABH\] và \[ACH\].
Ta có: \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} \]
\[\Rightarrow A{H^2} = \frac{{A{B^2}.A{C^2}}}{{A{B^2} + A{C^2}}}= \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} \] \[ \Rightarrow AH = \frac{{bc}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\]
Khi đó ta có
\[{V_3} = {1 \over 3}\pi A{H^2}.BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}.CH \] \[= {1 \over 3}\pi AH^2.BC \] \[= {1 \over 3}\pi {\left[ {{{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}} \right]^2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \] \[= {1 \over 3}{{\pi {b^2}{c^2}} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\]
b] Ta có: \[{1 \over {V_3^2}} = {{9\left[ {{b^2} + {c^2}} \right]} \over {\pi ^2 {b^4}{c^4}}}\]
\[{1 \over {V_1^2}} + {1 \over {V_2^2}} = {9 \over {\pi ^2{c^2}{b^4}}} + {9 \over {\pi ^2{b^2}{c^4}}} \] \[= {{9\left[ {{b^2} + {c^2}} \right]} \over {\pi^2 {b^4}{c^4}}} = {1 \over {V_3^2}}\]