Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[f\left[ x \right] = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử hằng đẳng thức thu gọn f[x] và đánh giá dựa vào tính chất hàm sin.
Lời giải chi tiết
TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[\begin{array}{l}
f\left[ x \right] = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\
= {\left[ {{{\sin }^2}x} \right]^2} + {\left[ {{{\cos }^2}x} \right]^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= 1 - \frac{1}{2}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= 1 - \frac{1}{2}{\left[ {2\sin x\cos x} \right]^2}\\
= 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x
\end{array}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{\sin ^2}2x \ge 0 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 0\\
\Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1 - 0 = 1
\end{array}\]
\[\Rightarrow f\left[ x \right] \le 1\] với mọi \[x \in {\mathbb{R}}\]
Mà \[f\left[ 0 \right] = 1\].
Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\mathbb {R}} f\left[ x \right] = 1\]
Lại có,
\[\begin{array}{l}
{\sin ^2}2x \le 1 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le \frac{1}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\
\Rightarrow f\left[ x \right] \ge \frac{1}{2}
\end{array}\]
với mọi \[x \in {\mathbb{R}}\]
Mà \[f\left[ {{\pi \over 4}} \right] = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\]
Vậy \[\mathop {\min f\left[ x \right]}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = {1 \over 2}\].