Đề bài
Xác định các hệ số \[a,b, c\] sao cho hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} + a{x^2} + bx + c\]đạt cực trị bằng \[0\] tại điểm \[x=-2\] và đồ thị của hàm số đi qua điểm \[A\left[ {1;0} \right]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng các điều kiện bài cho lập hệ phương trình ẩn a, b. c.
- Giải hệ tìm a, b, c và kết luận.
Chú ý:
+]\[f\] đạt cực trị tại điểm \[x=-2\] nên \[f'\left[ { - 2} \right] = 0\]
+] f[-2]=0
+]Đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left[ {1;0} \right]\]nên: \[f\left[ 1 \right] = 0 \]
Lời giải chi tiết
\[f'\left[ x \right] = 3{x^2} + 2ax + b\]
\[f\] đạt cực trị tại điểm \[x=-2\] nên \[f'\left[ { - 2} \right] = 0\]
\[\Rightarrow 3.{\left[ { - 2} \right]^2} + 2a.\left[ { - 2} \right] + b = 0\]
\[ \Rightarrow \]\[\,12 - 4a + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
\[f\left[ { - 2} \right] = 0 \] \[\Rightarrow {\left[ { - 2} \right]^3} + a.{\left[ { - 2} \right]^2} + b.\left[ { - 2} \right] + c = 0\]
\[\Rightarrow - 8 + 4a - 2b + c = 0\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left[ {1;0} \right]\]nên: \[f\left[ 1 \right] = 0 \Rightarrow 1 + a + b + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right]\]
Từ [1], [2], [3] ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
4a - b = 12 \hfill \cr
4a - 2b + c = 8 \hfill \cr
a + b + c = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = - 4 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[a=3, b=0, c=-4\].
Thử lại,
Xét f[x] = x3+3x2-4.
Ta có đồ thị hàm số f[x] đi qua A[1; 0] vì \[{1^3} + {3.1^2} - 4 = 0\]
f[x] = 3x2+6x f'' [x]=6x+6
f[-2]= 0; f[2] = -6 < 0 nên x = -2 là điểm cực đại và f[-2] = 0
Đáp số: a =3; b =0; c = -4.