- LG a
- LG b
Cho hàm số : \[y = f\left[ x \right] = x + {1 \over x}\]
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\]
\[\eqalign{
& y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \cr} \]
Hàm số đồng biến trên các khoảng: \[\left[ { - \infty ; - 1} \right],\left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: \[\left[ { - 1;0} \right],\left[ {0;1} \right]\]
+] Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại: \[x=-1 ; y[-1]= -2\]
Hàm số đạt cực tiểu tại: \[x=1;y[1]=2\]
+] Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ - }} = - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }} = + \infty \]
Tiệm cận đứng: \[x=0\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [y - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over x} = 0\]
Tiệm cận xiên: \[y=x\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG b
Tiếp tuyến của đường cong [C] tại điểm \[M\left[ {{x_o};f\left[ {{x_o}} \right]} \right]\] cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong [C].
Lời giải chi tiết:
Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x.
Ta có \[f\left[ x \right] = 1 - {1 \over {{x^2}}}\].
Phương trình tiếp tuyến của đường cong [C] tại điểm \[M\left[ {{x_o};f\left[ {{x_o}} \right]} \right]\] là \[y = \left[ {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right]\left[ {x - {x_o}} \right] + {x_o} + {1 \over {{x_o}}}\]
Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A:
\[{y_A} = \left[ {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right]\left[ { - {x_o}} \right] + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} \] \[= {2 \over {{x_o}}}\].
Vậy \[A\left[ {0;{2 \over {{x_o}}}} \right]\]
Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình
\[\left[ {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right]\left[ {x - {x_o}} \right] + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} = x \]
\[\Leftrightarrow - {x \over {{x_o}}} + {2 \over {{x_o}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_o}\]
\[{x_B} = 2{x_o}\].
Vậy \[B\left[ {2{x_o};2{x_o}} \right]\]
Ta có: \[{x_M} = {x_o} = {{0 + 2{x_o}} \over 2} \] \[= {{{x_A} + {x_B}} \over 2}\]
Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Ta thấy, khoảng cách từ B đến trục Oy bằng 2x0là độ dài đường cao kẻ từ B của OAB, OA có độ dài bằng 2/x0.
Diện tích tam giác OAB là
\[S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right| = {1 \over 2}\left| {{2 \over {{x_o}}}} \right|\left| {2{x_o} } \right|=2,\] với \[\forall {x_o} \ne 0\]