Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.
a] Chứng minh rằng tứ giác AMNB là hình thang vuông.
b] Gọi I là giao điểm của BM và AN. Trên tia đối của tia NA lấy điểm E sao cho NE = NI. Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho NE = NI. Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho MF = MI. Chứng minh rằng EF // AB.
c] Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I, H thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] ABC có:
M là trung điểm của AC [gt];
N là trung điểm của BC [gt];
=> MN là đường trung bình của tam giác ABC.
=> MN // AB=>Tứ giác AMNB là hình thang.
Mà \[\widehat {MAB} = 90^\circ \]
Nên tứ giác AMNB là hình thang vuông.
b] IEF có:
M là trung điểm của IF [gt];
N là trung điểm của IE [gt];
=> MN là đường trung bình của tam giác IEF => MN // EF
Mà MN // AB [chứng minh câu a] nên \[EF // AB\]
c] ABC có hai đường trung tuyến BM và AN cắt nhau tại I
=> I là trọng tâm của tam giác ABC.
Mà CH là đường trung tuyến của tam giác ABC [H là trung điểm của AB]
Nên CH đi qua I => C, H, Ithẳng [1].
ABC có I là trọng tâm và BM là đường trung tuyến \[ \Rightarrow \left\{ \matrix{ BI = {2 \over 3}BM \hfill \cr IM = {1 \over 3}BM \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow {{BI} \over {IM}} = 2 \Rightarrow BI = 2IM\]
Mà 2IM = IF [do M là trung điểm của IF] nên BI = IF => I là trung điểm của BF.
ABFcó:
I là trung điểm của BF;
H là trung điểm của AB
=> IH là đường trung bình của tam giác ABF => IH // AF
Ta có:
AI = 2IN[I là trọng tâm của tam giác ABC và AN là đường trung tuyến]
2IN = IE[N là trung điểm của IE]
=> AI = IE => Ilà trung điểm của AE.
Mà K là trung điểm của EF.
Nên IK là đường trung bình của tam giác AEF => IK // AF
Lại có: IH // AF.
Do đó H, I, K thẳng hàng [2]
Từ [1] và [2] suy ra C, K, I, H thẳng hàng.