Đề bài
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a có M và N là hai điểm di động lần lượt trên cạnh AB và AD sao cho \[\widehat {MCN} = {45^0}\]. Vẽ tia Cx vuông góc với CN,Cx cắt đường thẳng AB tại E.
Chứng minhE là điểm đối xứng của N qua CM.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Ta chứng minh \[CE = CN\] suy ra tam giác \[CEN\] cân tại \[C\] .
+ Ta chứng minh CM là tia phân giác đồng thời là trung trực của NE nên E đối xứng với N qua CM.
Lời giải chi tiết
Ta có \[CN \bot CE\,\left[ {gt} \right]\] mà \[\widehat {MCN} = {45^0}\] nên \[\widehat {MCE} = {45^0}\] hay \[\widehat {{C_2}} + \widehat {{C_3}} = {45^0}\]. Mà \[\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_3}} = {45^0}\] [vì \[\widehat {MCN} = {45^0}\]] nên \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\].
Xét tam giác CDN và tam giác CBE có:
BC = DC [do ABCD là hình vuông]; \[\widehat D = \widehat B = {90^0}\] ; \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\] [cmt]
Suy ra \[\Delta CDN = \Delta CBE[g.c.g]\] .Suy ra \[CN = CE\]
Xét tam giác \[CEN\] có \[CN = CE\] [cmt] nên tam giác \[CEN\] là tam giác cân tại \[C.\]
Suy ra phân giác \[CM\] đồng thời là đường trung trực của \[NE .\]
Vậy E là điểm đối xứng của N qua CM.