Đề bài
Các đường phân giác trong của tứ giác ABCD tạo thành một tứ giác. Chứng minh rằng tứ giác đó có các góc đối bù nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tổng bốn góc trong tứ giác bằng \[360^0\]
Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^0\]
Lời giải chi tiết
Gọi MNPQ là tứ giác được tạo thành.
Xét tứ giác ABCD, ta có:
\[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^ \circ }\] [tổng bốn góc trong tứ giác bằng \[360^0\]]
\[ \Rightarrow {{\widehat A} \over 2} + {{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2} + {{\widehat D} \over 2} = {180^ \circ }.\]
Xét \[\Delta AMB\] có \[\widehat {{A_1}} + \widehat {AMB} + \widehat {{B_1}} = {180^ \circ }\]
Hay \[{{\widehat A} \over 2} + \widehat {AMB} +{{\widehat B} \over 2} = {180^ \circ }.\]
Tương tự với \[\Delta CPD:{{\widehat C} \over 2} + \widehat {CPD} + {{\widehat D} \over 2} = {180^ \circ }.\]
\[ \Rightarrow{{\widehat A} \over 2} + \widehat {AMB} +{{\widehat B} \over 2} \]\[+{{\widehat C} \over 2} + \widehat {CPD} + {{\widehat D} \over 2}=180^0+180^0\]
\[ \Rightarrow \widehat {AMB} + \widehat {CPD}\]\[+{{\widehat A} \over 2} + {{\widehat B} \over 2} + {{\widehat C} \over 2} + {{\widehat D} \over 2}=360^0\]
\[ \Rightarrow \widehat {AMB} + \widehat {CPD} = {180^ \circ }\]
\[\Rightarrow \widehat {NMQ} + \widehat {NPQ} = {180^ \circ }\]
\[ \Rightarrow \widehat {MNP} + \widehat {MQP} \]\[\,= {360^ \circ } - \left[ {\widehat {NMQ} + \widehat {NPQ}} \right]\]\[\, = {360^ \circ } - {180^ \circ } = {180^ \circ }.\]
Vậy tứ giác MNPQ có các góc đối bù nhau.