Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.
a] Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.
b] Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.
Lời giải chi tiết
a] Tứ giác ABCD có:
AD và BC cắt nhau tại M [gt];
M là trung điểm của BC [gt]
M là trung điểm của AD [D đối xứng với A qua BC]
Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành
Mà \[AD \bot BC\] [vì D đối xứng với A qua BC]
Nên hình bình hành ABDC là hình thoi.
b] Ta có \[AM = {1 \over 2}AB\] [đường trung tuyến ứng với cạnh huyền]
Và \[AE = {1 \over 2}AB\] [E là trung điểm của AB]
\[ \Rightarrow EM = EA = {1 \over 2}AB\,\,\left[ 1 \right]\]
Ta có \[MF = {1 \over 2}AC\] [đường trung tuyến ứng với cạnh huyền]
Và \[AF = {1 \over 2}AC\] [F là trung điểm của AC]
\[ \Rightarrow MF = AF = {1 \over 2}AC\,\,\left[ 2 \right]\]
\[AB = AC\] [\[\Delta ABC\] cân tại A] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra \[EM = EA = MF = AF\].
Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.