Đề bài
Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm.
\[\left\{ \matrix{
{7 \over 6}x - {1 \over 2} \ge {{3x} \over 2} - {{13} \over 3} \hfill \cr
{m^2}x + 1 \ge {m^4} - x \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải từng bpt có trong hệ và tìm điều kiện để hệ có nghiệm [hai tập nghiệm giao nhau khác rỗng]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[{7 \over 6}x - {1 \over 2} > {{3x} \over 2} - {{13} \over 3}\] \[ \Leftrightarrow 7x - 3 > 9x - 26 \] \[\Leftrightarrow 7x - 9x > - 26 + 3\] \[ \Leftrightarrow - 2x > - 23\] \[\Leftrightarrow x < {{23} \over 2}\]
Tập nghiệm của bpt đầu là \[S _1= \left[ { - \infty ;\frac{{23}}{2}} \right]\]
\[\begin{array}{l}
{m^2}x + 1 \ge {m^4} - x\\
\Leftrightarrow {m^2}x + x \ge {m^4} - 1\\
\Leftrightarrow \left[ {{m^2} + 1} \right]x \ge {m^4} - 1\\
\Leftrightarrow x \ge \frac{{{m^4} - 1}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{\left[ {{m^2} + 1} \right]\left[ {{m^2} - 1} \right]}}{{{m^2} + 1}}= {m^2} - 1\\
\left[ {\text{Vì } \,{m^2} + 1 > 0,\forall m} \right]
\end{array}\]
Tập nghiệm của bpt sau là \[{S_2} = \left[ {{m^2} - 1; + \infty } \right]\]
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \[{S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \]
\[\Leftrightarrow {m^2} - 1 < {{23} \over 2} \Leftrightarrow {m^2} < {{25} \over 2}\] \[ \Leftrightarrow \,|m| < {{5\sqrt 2 } \over 2} \]
\[\Leftrightarrow - {{5\sqrt 2 } \over 2} < m < {{5\sqrt 2 } \over 2}\]