- LG a
- LG b
Hãy so sánh các kết quả sau đây:
LG a
\[\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \]và \[\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \][không dùng bảng số hoặc máy tính]
Lời giải chi tiết:
Giả sử: \[\sqrt {2000} + \sqrt {2005} \, < \sqrt {2002} + \sqrt {2003} \,\,\,\,\,[1]\]
Ta có:
\[\eqalign{
& [1]\cr & \Leftrightarrow \,{[\sqrt {2000} + \sqrt {2005} ]^2}\, < {[\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \,]^2} \cr
& \Leftrightarrow 2000 + 2\sqrt {2000.2005} + 2005 \cr &< 2002 + 2\sqrt {2002.2003} + 2003\cr &\Leftrightarrow 4005 + 2\sqrt {2000.2005} < 4005 + 2\sqrt {2002.2003} \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003 \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < [2000 + 2][2005 - 2] \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6 \cr} \]
Ta thấy kết quả suy ra luôn đúng.
Do đó:\[\sqrt {2000} + \sqrt {2005} < \sqrt {2002} + \sqrt {2003} \]
LG b
\[\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \]và \[\sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,[a \ge 0]\]
Lời giải chi tiết:
Giả sử:
\[\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} \sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,[a \ge 0]\] [2]
Ta có:
\[\eqalign{
& [2] \Leftrightarrow {[\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} ]^2} \le {[\sqrt a + \sqrt {a + 6} ]^2} \cr
&\Leftrightarrow a + 2 + 2\sqrt {\left[ {a + 2} \right]\left[ {a + 4} \right]} + a + 4 \cr &\lea + 2\sqrt {a\left[ {a + 6} \right]} + a + 6\cr &\Leftrightarrow 2a + 6 + 2\sqrt {[a + 2][a + 4]}\cr& \le 2a + 6 + 2\sqrt {a[a + 6]} \cr
& \Leftrightarrow [a + 2][a + 4] \le a[a + 6] \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 \le {a^2} + 6a \cr
& \Leftrightarrow 8 \le 0 \cr} \]
Ta thấy : \[8 0\] là vô lý
Vậy \[\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} > \sqrt a + \sqrt {a + 6} \,\,[a \ge 0]\]