Đề bài
Gọi \[O\] là tâm của hình bình hành \[ABCD\]. Chứng minh rằng với điểm \[M\] bất kì, ta có
\[\overrightarrow {MO} = {1 \over 4}[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} ].\]
Lời giải chi tiết
Do \[ABCD\] là hình bình hành nên \[O\] là trung điểm của \[AC, BD\].
Suy ra \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \,,\,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \,.\]
Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \cr&= \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} \cr
& = 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MO} = {1 \over 4}[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} ]. \cr} \]
Cách khác:
Vì O là trung điểm của AC, BD nên:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \\
\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\
= 2\overrightarrow {MO} + 2\overrightarrow {MO} = 4\overrightarrow {MO} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \\
\left[ {dpcm} \right]
\end{array}\]