- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
Trong mặt phẳng tọa độ, với mỗi số \[m \ne 0\], xét hai điểm \[{M_1}[ - 4\,;\,m];\,{M_2}[4\,;\,{{16} \over m}]\]
LG a
Viết phương trình đường thẳng M1M2.
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left[ {8\,;\,{{16} \over m} - m} \right] = \left[ {8\,;\,{{16 - {m^2}} \over m}} \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\frac{{16 - {m^2}}}{m}; - 8} \right]\] là VTPT của đường thẳng \[{M_1}{M_2}\].
Phương trình đường thẳng \[{M_1}{M_2}\] đi qua \[M_1\] và nhận \[\overrightarrow n = \left[ {\frac{{16 - {m^2}}}{m}; - 8} \right]\] làm VTPT là:
\[\begin{array}{l}
\frac{{16 - {m^2}}}{m}\left[ {x + 4} \right] - 8\left[ {y - m} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {16 - {m^2}} \right]\left[ {x + 4} \right] - 8m\left[ {y - m} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {16 - {m^2}} \right]x + 64 - 4{m^2} - 8my + 8{m^2} = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {16 - {m^2}} \right]x - 8my + 64 + 4{m^2} = 0
\end{array}\]
LG b
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng M1M2.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách từ O đến đường thẳng M1M2là
\[\begin{array}{l}
d\left[ {O,{M_1}{M_2}} \right]\\
= \frac{{\left| {\left[ {16 - {m^2}} \right].0 - 8m.0 + 64 + 4{m^2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ {16 - {m^2}} \right]}^2} + {{\left[ {8m} \right]}^2}} }}\\
= \frac{{\left| {64 + 4{m^2}} \right|}}{{\sqrt {{m^4} + 32{m^2} + {{16}^2}} }}\\
= \frac{{4\left| {{m^2} + 16} \right|}}{{\sqrt {{{\left[ {{m^2} + 16} \right]}^2}} }} = \frac{{4\left[ {{m^2} + 16} \right]}}{{{m^2} + 16}} = 4
\end{array}\]
LG c
Chứng tỏ rằng đường thẳng M1M2luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Lời giải chi tiết:
* Gọi [ C] là đường tròn tâm O, bán kính R = 4.
=> Đường tròn [C] cố định.
* Theo chứng minh b ta có:
d[O, M1M2] = 4 = R không phụ thuộc vào m.
=> Đường thẳng M1M2luôn tiếp xúc với đường tròn [C] cố định.
LG d
Lấy các điểm \[{A_1}[ - 4;\,0],\,{A_2}[4\,;\,0]\]. Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng \[{A_1}{M_2},\,{A_2}{M_1}\].
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng A1M2là
\[{{x + 4} \over 8} = {{y - 0} \over {{{16} \over m}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2x - my + 8 = 0\]
Phương trình đường thẳng A2M1là
\[{{x - 4} \over { - 8}} = {{y - 0} \over m}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,mx + 8y - 4m = 0\]
Tọa độ giao điểm I của A1M2và A2M1là nghiệm của hệ phương trình
Vậy \[I\left[ {{{4[{m^2} - 16]} \over {{m^2} + 16}}\,;\,{{16m} \over {{m^2} + 16}}} \right]\].
LG e
Chứng minh rằng khi m thay đổi, I luôn luôn nằm trên một elip [E] cố định. Xác định tọa độ tiêu điểm của elip đó.
Lời giải chi tiết:
Khử m từ hệ [*] ta có
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
my = 2x + 8 \hfill \cr
m[4 - x] = 8y \hfill \cr} \right.\cr &\Rightarrow \frac{{2x + 8}}{y} = \frac{{8y}}{{4 - x}}\cr &\Rightarrow [2x + 8].[4 - x] = 8{y^2} \cr
& \Rightarrow \,\,\,2[16 - {x^2}] = 8{y^2}\cr
& \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} = 16\cr&\Rightarrow \,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \cr} \]
Vậy I nằm trên elip [E] có phương trình \[\,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\].
Ta có \[{c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 - 4 = 12\] \[ \Rightarrow \,\,c = 2\sqrt 3 \]
Hai tiêu điểm của elip là \[{F_1}[ - 2\sqrt 3 \,;\,0]\,,\,\,\,{F_2}[2\sqrt 3 \,;\,0]\]