Đề bài
Một hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x + 3y - 6 = 0 và 2x - 5y - 1 = 0. Biết hình bình hành đó có tâm đối xứng là I[3, 5]. Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.
Lời giải chi tiết
Giả sử hình bình hành ABCD có tâm I
\[\eqalign{
& AB:\,\,x + 3y - 6 = 0 \cr
& AD:\,\,2x - 5y - 1 = 0 \cr} \]
Tọa độ của A là nghiệm của hệ
\[\left\{ \matrix{
x + 3y - 6 = 0 \hfill \cr
2x - 5y - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\] \[\Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 3\, \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[A[3 ; 1]\].
I là trung điểm của AC nên
\[\left\{ \matrix{
{x_I} = {1 \over 2}[{x_A} + {x_C}] \hfill \cr
{y_I} = {1 \over 2}[{y_A} + {y_C}] \hfill \cr} \right.\] \[ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{x_C} = 2{x_I} - {x_A} = 3 \hfill \cr
{y_C} = 2{y_I} - {y_A} = 9 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[C[3 ; 9]\].
BC là đường thẳng qua C[3;9] và song song với AD nên nhận [2;-5] làm VTPT
BC có phương trình:
\[2[x - 3] - 5[y - 9] = 0\] \[\Leftrightarrow 2x - 5y + 39 = 0\]
CD là đường thẳng qua C[3;9] và song song với AB nên nhận [1;3] làm VTPT
CD có phương trình:
\[1[x - 3] + 3[y - 9] = 0\] \[ \Leftrightarrow x + 3y - 30 = 0\]
Vậy hai cạnh còn lại của hình bình hành là
\[2x - 5y + 39 = 0\] và \[x + 3y - 30 = 0\].
Cách khác:
Có thể viết pt BC và CD như sau:
*BC// AD nên BC có dạng: 2x 5y + c = 0 [c -1].
Lại có C[3; 9] thuộc BC nên 2.3 5.9 + c = 0 c = 39
Vậy BC: 2x 5y + 39 = 0.
* Do CD// AB nên CD có dạng: x + 3y + d = 0 [d -6]
Do C[3; 9] thuộc CD nên : 3 + 3.9 + d= 0 d = -30
Vậy CD: x + 3y - 30 = 0.