Đề bài
Hãy chứng minh định lí 3:\[{S_n} = {{n\left[ {{u_1} + {u_n}} \right]} \over 2}\].
Lời giải chi tiết
Ta sẽ chứng minh \[{S_n} = {{n\left[ {{u_1} + {u_n}} \right]} \over 2}\] [1]
+] Với mọi \[n \in \mathbb N^*\], bằng phương pháp qui nạp.
+] Với \[n = 1\], ta có \[{S_1} = {u_1} = {{1\left[ {{u_1} + {u_1}} \right]} \over 2}.\] Như vậy [1] đúng với \[n = 1\].
+] Giả sử [1] đúng khi \[n = k, k \in \mathbb N^*\], tức là:
\[{S_k} = {{k\left[ {{u_1} + {u_k}} \right]} \over 2}\]
+] Ta chứng minh [1] đúng với \[n=k+1\]
\[\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left[ {{u_1} + {u_k}} \right]} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr
& = {{k\left[ {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right] + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left[ {k + 1} \right]{u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr
& = {{k{u_1} + \left[ {k + 1} \right]{u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr
& = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right]} \over 2} \cr} \]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\]
Vậy [1] đúng với mọi \[n \in \mathbb N^*\].
Cách khác :
Ta có:
\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left[ {{u_1} + {u_n}} \right] + \left[ {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right] \cr&+ ... + \left[ {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right] + \left[ {{u_n} + {u_1}}\right] \cr} \]
Mà \[{u_1} + {u_n}= {u_2} + {u_{n - 1}} \]\[= {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}\]
Do đó \[2{S_n} = n\left[ {{u_1} + {u_n}} \right]\]
\[\Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left[ {{u_1} + {u_n}} \right]\]