Đề bài
Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A[1; 5; 3], B[4; 2; -5], C[5; 5; -1] và D[1; 2; 4].
a] Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b] Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
c] Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.
d] Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu [S].
e] Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu [S] và các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left[ {3, - 3, - 8} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {4,0, - 4} \right]. \cr
& \overrightarrow {AD} = \left[ {0, - 3,1} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]= \left[ {12, - 20,12} \right],\cr & \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 72 \ne 0. \cr} \]
Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b] Giả sử mặt cầu [S] có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\].
Vì \[A,B,C,D \in \left[ S \right]\]nên ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
1 + 25 + 9 - 2a - 10b - 6c + d = 0 \hfill \cr
16 + 4 + 25 - 8a - 4b + 10c + d = 0 \hfill \cr
1 + 4 + 16 - 2a - 4b - 8c + d = 0 \hfill \cr} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \matrix{
3a - 3b - 8c = 5 \hfill \cr
a - c = 2 \hfill \cr
- 3b + c = - 7 \hfill \cr} \right. \] \[\Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = 2 \hfill \cr
c = - 1 \hfill \cr
d = - 19 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z - 19 = 0.\]
Mặt cầu [S] có tâm \[I\left[ {1,2, - 1} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19} = 5.\]
c] Mp[ABC] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {12, - 20,12} \right] \] \[= 4\left[ {3, - 5,3} \right].\]
Mp[ABC] đi qua \[A\left[ {1,5,3} \right]\] nên có phương trình:
\[3\left[ {x - 1} \right] - 5\left[ {y - 5} \right] + 3\left[ {z - 3} \right]=0 \] \[\Leftrightarrow 3x - 5y + 3z + 13 = 0.\]
Khoảng cách từ D đến mp[ABC] là: \[h = {{\left| {3.1 - 5.2 + 3.4 + 13} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {43} }}\].
d] Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {CD} = \left[ { - 4, - 3,5} \right]\]nên có phương trình:
\[ - 4x - 3y + 5z + d = 0.\]
Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu [S] khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \[I\left[ {1,2, - 1} \right]\] của mặt cầu[S] tới mặt phẳng\[\left[ \alpha \right]\] bằng 5, tức là:
\[{{\left| { - 4.1 - 3.2 - 5.1 + d} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5 \] \[\Leftrightarrow {{\left| { - 15 + d} \right|} \over {\sqrt {50} }} = 5 \Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .\]
Vậy \[\left[ \alpha \right]: - 4x - 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2 = 0.\]
e] Mặt cầu [S] có tâm \[I\left[ {1,2, - 1} \right]\], mp[Oxy] có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp[Oxy] là \[{d_1} = \left| { - 1} \right| = 1 < R\]nên [S] cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \[{r_1} = \sqrt {{R^2} - d_1^2} = \sqrt {25 - 1} = 2\sqrt 6 .\]
Tương tự mp[Oyz] có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp[Oyz] là \[{d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\]nên [S] cắt mp[Oyz] theo đường tròn có bán kính là \[{r_2} = \sqrt {{R^2} - d_2^2} = \sqrt {25 - 1} = 2\sqrt 6 .\]
Tương tự mp[Oxz] có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp[Oxz] là \[{d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\]nên [S] cắt mp[Oyz] theo đường tròn có bán kính là \[{r_3} = \sqrt {{R^2} - d_3^2} = \sqrt {25 - 4} = \sqrt {21} .\]