Đề bài - bài 35 trang 10 sbt toán 9 tập 1

\(\eqalign{& \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \cr& = \left| {2n + 1} \right| - \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} \cr} \)

Đề bài

Với \(n\) là số tự nhiên, chứng minh:

\({(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )^2} \)\(= \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \)

Viết đẳng thức trên khi \(n\) bằng \(1, 2, 3, 4.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Áp dụng hằng đẳng thức:

\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

+) Nếu\(A \ge 0,B \ge 0\) thì\(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \)

+) \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

Với\(A \ge 0\) thì\(\left| A \right| = A\)

Với\(A < 0\)thì\(\left| A \right| = - A\)

Lời giải chi tiết

Ta có vế phải

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)^2} \cr
& = n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} + n \cr
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)

Ta có vế trái:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \cr
& = \left| {2n + 1} \right| - \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} \cr} \)

\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt {2(n + 1)2n} \cr
& = 2n + 1 - \sqrt {4(n + 1)n} \cr} \)

\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt 4 .\sqrt {n(n + 1)} \cr
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

-Với \(n = 1\), ta có: \({\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right)^2} = \sqrt 9 - \sqrt 8 \)

-Với \(n = 2\), ta có: \({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^2} = \sqrt {25} - \sqrt {24} \)

-Với \(n = 3\), ta có: \({\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)^2} = \sqrt {49} - \sqrt {48} \)

-Với \(n = 4\), ta có: \({\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)^2} = \sqrt {81} - \sqrt {80} \)

Bài Viết Liên Quan