Đề bài - bài 14 trang 17 sgk đại số và giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Xác định các hệ số \(a,b, c\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\)đạt cực trị bằng \(0\) tại điểm \(x=-2\) và đồ thị của hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).

Lời giải chi tiết

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\)

\(f\) đạt cực trị tại điểm \(x=-2\) nên \(f'\left( { - 2} \right) = 0\)

\(\Rightarrow 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 2a.\left( { - 2} \right) + b = 0\)
\( \Rightarrow \)\(\,12 - 4a + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(f\left( { - 2} \right) = 0 \) \(\Rightarrow {\left( { - 2} \right)^3} + a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + c = 0\)

\(\Rightarrow - 8 + 4a - 2b + c = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\)nên: \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 1 + a + b + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
4a - b = 12 \hfill \cr
4a - 2b + c = 8 \hfill \cr
a + b + c = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = - 4 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(a=3, b=0, c=-4\).

Thử lại,

Xét f(x) = x3+3x2-4.

Ta có đồ thị hàm số f(x) đi qua A(1; 0) vì \({1^3} + {3.1^2} - 4 = 0\)

f(x) = 3x2+6x f'' (x)=6x+6

f(-2)= 0; f(2) = -6 < 0 nên x = -2 là điểm cực đại và f(-2) = 0

Đáp số: a =3; b =0; c = -4.