Đề bài
Chứng minh rằng hàm số bậc nhất \[y = ax + b\] đồng biến khi \[a > 0\] và nghịch biến khi \[a < 0.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tập xác định [TXĐ] D của hàm số
- Giả sử\[{x_1} < {x_2}\] với [\[{x_1};{x_2} \in D\]]. Xét hiệu\[f\left[ {{x_2}} \right] - f\left[ {{x_1}} \right].\]
+ Nếu\[f\left[ {{x_1}} \right] - f\left[ {{x_2}} \right] < 0\] hay\[f\left[ {{x_1}} \right] < f\left[ {{x_2}} \right]\] thì hàm số đồng biến trên D.
+ Nếu\[f\left[ {{x_1}} \right] - f\left[ {{x_2}} \right] > 0\] hay\[f\left[ {{x_1}} \right] > f\left[ {{x_2}} \right]\] thì hàm số nghịch biến trên D.
Lời giải chi tiết
Xét hàm số bậc nhất \[y = ax +b\] [ \[a \ne 0\]] trên tập số thực \[R.\]
Với hai số \[x_1\] và \[x_2\] thuộc \[R\]và \[{x_1} < {x_2}\], ta có :
\[{y_1} = a{x_1} + b\]
\[{y_2} = a{x_2} + b\]
\[{y_2} - {y_1} = \left[ {a{x_2} + b} \right] - \left[ {a{x_1} + b} \right]\]\[ = a\left[ {{x_2} - {x_1}} \right]\] [1]
*Trường hợp \[a > 0:\]
Ta có: \[{x_1} < {x_2}\]suy ra : \[{x_2} - {x_1} > 0\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{y_2} - {y_1} = {\rm{a}}\left[ {{x_2} - {x_1}} \right] > 0 \Rightarrow {y_2} >{y_1}\]
Vậy hàm số đồng biến khi \[a > 0.\]
*Trường hợp \[a < 0\]:
Ta có: \[{x_1} < {x_2}\]suy ra : \[{x_2} - {x_1} > 0\] [3]
Từ [1] và [3] suy ra:
\[{y_2} - {{\rm{y}}_1} = {\rm{a}}\left[ {{x_2} - {x_1}} \right] < 0 \Rightarrow {y_2} < {y_1}\]
Vậy hàm số nghịch biến khi \[a < 0.\]