Đề bài
Xác định hệ số của số hạng chứa \[{x^4}\] trong khai triển \[{\left[ {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right]^n}\] nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng \[97\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:
\[{\left[ {a + b} \right]^n} \]
\[= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \]
\[+ C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\] với \[a=x^2, b=-\dfrac{2}{x}\].
Tính tổng các hệ số của ba số hạng đầu đồng nhất với giá trị đề bài cho để tìm \[n\].
Sau đó thay \[n\] vào khai triển \[{\left[ {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right]^n}\] sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số, sử dụng công thức lũy thừa của lũy thừa:\[x^m.x^n=x^{m+n}\]; \[\dfrac{x^m}{x^n}=x^{mn}\]; \[{\left[ {{x^\alpha }} \right]^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}\] để thu gọn biểu thức.
Để tìm hệ số của\[x^4\]ta cho số mũ của \[x\] bằng \[4\], giải phương trình tìm\[k\] và tính hệ số của \[x^4\].
Lời giải chi tiết
Ta có \[{\left[ {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right]^n} = C_n^0{\left[ {{x^2}} \right]^n} +\]
\[C_n^1{\left[ {{x^2}} \right]^{n - 1}}.\left[ { - \dfrac{2}{x}} \right] +\]
\[C_n^2{\left[ {{x^2}} \right]^{n - 2}}.{\left[ { - \dfrac{2}{x}} \right]^2} + ...\]
Theo giả thiết, ta có:
\[\begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left[ {n - 1} \right] - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 6{\rm{ }}\left[ \text{loại} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[n = 8.\]
Từ đó ta có: \[{\left[ {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right]^8} \]
SHTQ: \[T_{k+1}= {C_8^k{{\left[ {{x^2}} \right]}^{8 - k}}{{\left[ { - \dfrac{2}{x}} \right]}^k} }\]
\[ = C_8^k.{x^{16 - 2k}}.\frac{{{{\left[ { - 2} \right]}^k}}}{{{x^k}}} \] \[= C_8^k{x^{16 - 2k - k}}{\left[ { - 2} \right]^k}\]
\[={{{\left[ { - 2} \right]}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \].
Số hạng chứa \[x^4\] ứng với \[16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4.\]
Do đó hệ số của số hạng chứa \[{x^4}\] là \[{\left[ { - 2} \right]^4}.C_8^4 = 1120\].