- LG a
- LG b
Cho hai số a, b không âm. Chứng minh :
a] Nếu \[\ a < \ b\]thì\[\sqrt a < \sqrt b \].
b] Nếu\[\sqrt a < \sqrt b \] thì \[\ a < \ b\].
LG a
Nếu \[\ a < \ b\]thì\[\sqrt a < \sqrt b \].
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[{x^2} - {y^2} = \left[ {x + y} \right][x - y]\]
Biện luận dựa vào các dữ kiện đã cho.
Lời giải chi tiết:
\[a \ge 0;b \ge 0\] và \[a < b \Rightarrow b > 0\]
Ta có: \[\sqrt a \ge 0;\sqrt b > 0\]
Suy ra: \[\sqrt a + \sqrt b > 0\] [1]
Mặt khác:
\[a - b = {\left[ {\sqrt a } \right]^2} - {\left[ {\sqrt b } \right]^2}\]
\[ = \left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]\]
Vì \[a < b\] nên \[a - b < 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right] 0\]
Suy ra: \[\sqrt a + \sqrt b > 0\] và \[\sqrt a - \sqrt b < 0\]
\[\left[ {\sqrt a + \sqrt b } \right]\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right] < 0\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow {\left[ {\sqrt a } \right]^2} - {\left[ {\sqrt b } \right]^2} < 0 \cr
& \Rightarrow a - b < 0 \Rightarrow a < b \cr} \]