Chu kỳ t của hàm số là gì năm 2024

Trong toán học, một hàm tuần hoàn là hàm số lặp lại giá trị của nó trong những khoảng đều đặn hay chu kỳ. Ví dụ quan trọng nhất của những hàm tuần hoàn đó là các hàm lượng giác, mà lặp lại trong khoảng 2π radian. Hàm tuần hoàn được sử dụng thường xuyên để miêu tả các dao động, sóng, và những hiện tượng khác thể hiện tính tuần hoàn.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số f được nói là tuần hoàn nếu đối với hằng số khác 0 P, ta có

đối với mọi x trong miền xác định. Hằng số P khác 0 được gọi là chu kỳ của hàm số. Nếu tồn tại ít nhất một hằng số P có tính chất này, nó được gọi là chu kỳ cơ bản (hoặc chu kỳ cơ sở, chu kỳ gốc.) Thông thường, khi nhắc đến chu kỳ của hàm số thì được hiểu là chu kỳ cơ bản của nó. Một hàm số với chu kỳ P sẽ lặp lại trên những khoảng có độ dài P lần, và những khoảng này đôi khi cũng được coi là chu kỳ của hàm số.

Về mặt hình học, hàm số tuần hoàn có thể được định nghĩa như là một hàm mà đồ thị của nó thể hiện đối xứng tịnh tiến. Cụ thể, một hàm f tuần hoàn theo chu kỳ P nếu đồ thị của f là bất biến dưới phép tịnh tiến theo hướng x bởi một khoảng cách P. Định nghĩa về tính tuần hoàn này có thể mở rộng ra cho những đối tượng hình học khác, cũng như tổng quát hóa cho nhiều chiều, ví dụ như lát mặt phẳng bằng lưới hình (tessellation). Một dãy có thể coi như một hàm có miền xác định trên các số tự nhiên, và một dãy tuần hoàn tuân theo định nghĩa ở trên.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị hàm sin, thể hiện hai chu kỳ đầy đủ

Ví dụ, hàm sin là hàm tuần hoàn với chu kỳ , vì

đối với mọi giá trị của . Hàm này lặp lại trên những khoảng (xem đồ thị).

Các ví dụ hàng ngày có thể thấy sự tuần hoàn theo thời gian; như kim đồng hồ hoặc pha Mặt Trăng thể hiện tính tuần hoàn. Chuyển động tuần hoàn là chuyển động trong đó vị trí của hệ được biểu diễn theo một hàm tuần hoàn, với cùng một chu kỳ như nhau.

Đối với một hàm xác định trên số thực hoặc số nguyên, điều này có nghĩa rằng toàn bộ đồ thị có thể vẽ ra bằng cách sao chép một phần đặc biệt, lặp lại theo những khoảng đều đặn.

Ví dụ hàm tuần hoàn khác là hàm cho "phần thập phân" theo đối số của nó. Chu kỳ của nó bằng 1. Chẳng hạn,

Đồ thị của hàm có dạng lưỡi cưa.

Đồ thị của và ; cả hai hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π.

Các hàm lượng giác sin và cos là những hàm tuần hoàn, với chu kỳ 2π. Phạm vi nghiên cứu của chuỗi Fourier dựa trên ý tưởng rằng có thể coi các hàm tuần hoàn 'bất kỳ' bằng tổng của các hàm lượng giác với chu kỳ giống nhau.

Theo định nghĩa trên, một số hàm kỳ lạ, như hàm Dirichlet, cũng là hàm tuần hoàn; trong trường hợp của hàm Dirichlet, bất kỳ số hữu tỷ khác 0 nào đều tuần hoàn.

Hàm số tuần hoàn là gì? Có lẽ nhiều bạn học sinh lần đầu nghe đến cụm từ này, còn cảm thấy hoang mang và lạ lẫm. Đây là kiến thức mới nhưng rất quan trọng, “gối đầu” cho chặng đường học toán sau này.

Toán học vốn đã quá quen thuộc với nhiều người, thế nhưng phạm vi kiến thức của môn này thường rộng. Người học luôn phải trong trạng thái sẵn sàng thu nhận những thông tin mới. Bài viết dưới đây của Monkey sẽ cung cấp cho bạn những điều cơ bản và cốt lõi nhất của hàm số tuần hoàn.

Hàm số tuần hoàn là gì?

Trong một bài toán thông thường, việc xác định hàm tuần hoàn là gì của hàm số thường rất quan trọng, đây được xem như là bước đầu tiên trong quá trình giải toán. Trong toán học, tính tuần hoàn của một hàm số được thể hiện qua sự lặp lại của giá trị hàm số trong những chu kỳ hay một khoản xác định.

Cùng Monkey đi sâu hơn để biết hàm số tuần hoàn là gì cũng như những tính chất của nó dưới đây.

Định nghĩa hàm số tuần hoàn

Đối với những người lần đầu tiếp xúc những kiến thức mới, xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác có định nghĩa khá trừu tượng và đôi lúc khó hiểu. Nên để đơn giản và dễ hiểu hơn ta sẽ định nghĩa qua công thức.

Cho một hàm số f(x + P) = f(x), hàm số này được gọi là tuần hoàn nếu, với mỗi hàng số P khác 0 và đối với x thuộc trong miền đã xác định ta có: P hằng số khác 0 được gọi là chu kỳ của hàm số.

Nếu tồn tại ít nhất một hằng số (P) có tính chất này, thì nó có tên gọi là chu kỳ cơ bản hay còn có những tên gọi khác là chu kỳ cơ sở/ chu kỳ gốc. Đối với chu kì hàm số, thông thường khi nhắc tới thì sẽ được hiểu đó là chu kì cơ bản của hàm số đó.

Với chu kỳ P của một hàm số sẽ lặp lại trên những khoảng có độ dài P lần, và những khoảng này trong một số trường hợp cũng được xem là chu kỳ của hàm số.

Về mặt hình học, hàm số tuần hoàn có thể được định nghĩa như là một hàm mà đồ thị của nó thể hiện đối xứng tịnh tiến. Cụ thể, một hàm f tuần hoàn theo chu kỳ P nếu đồ thị của f là bất biến dưới phép tịnh tiến theo hướng x bởi một khoảng cách P.

Tính chất cơ bản của hàm số tuần hoàn

Ta đã tìm hiểu về định nghĩa cụ thể của hàm số tuần hoàn, tiếp theo đây cùng điểm qua một số tính chất cơ bản, cách nhận biết hàm số tuần hoàn ngay dưới đây:

• Nếu một hàm số f, tuần hoàn với chu kỳ P, thì với mọi số x thuộc trong miền xác định của f và mọi số nguyên n, ta có: f(x + nP)=f(x)
• Nếu f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ P, thì f(ax) với a là một số thực khác 0, hàm số tuần hoàn với chu kì P/|a|

Ví dụ: Hàm số f(x)=sin2x có chu kỳ 2π, do vậy sin(7x) sẽ có chu kỳ là 2π/7

Phương pháp giải chung cho các bài toán xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác.

Các dạng bài toán của hàm số tuần hoàn thường rất rộng và có nhiều dạng khác nhau, mỗi bài toán lại có một phương pháp giải riêng. Trong bài viết này, Monkey sẽ giới thiệu cho bạn 3 dạng bài toán tiêu biểu và cách giải chung của các bài toán này để bạn có thể tham khảo.

Chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xét hàm số y = f(x) với tập xác định là D, ta cần dự đoán số thực dương T0, mà sao cho với mọi x ∈ D, ta có: x - T0 và x + T0 ∈ D (1); f(x + T0)=f(x) (2).
• Bước 2: Ta kết luận: Hàm số y=f(x) tuần hoàn.

Chứng minh rằng T0 là chu kì của hàm số theo các bước:

Có nghĩa là chứng minh T0 là số nhỏ nhất (1), (2), ta thực hiện phép chứng minh bằng phản chứng.

• Bước 1: Giả sử cho một số T sao cho 0 < T < T0 thoả mãn tính chất của (2): x∈D, f(x + T) = f(x) ⇔ …⇒ mâu thuẫn với giả thiết 0 < T < T0.
• Bước 2: Xảy ra mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dương nhỏ nhất thỏa mãn (2).
• Bước 3: Vậy ta kết luận được: Hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kì cơ sở T0.

Để xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác, chúng ta sử dụng các kết quả sau đây:

• Hàm số y = sinx và y = cosx có chu kì tuần hoàn là 2π; Mở rộng: Đối với hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b), điều kiện: a ≠ 0, tuần hoàn với chu kì: 2π/a.
• Hàm số y = tanx và y = cotx có chu kì tuần hoàn là π; Mở rộng: Đối với hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b), điều kiện: a ≠ 0, tuần hoàn với chu kì: π/a.
• Kết hợp với kết quả của định lý dưới đây:
  • Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần lượt là a và b với điều kiện a/b ∈ Q. Khi đó, các hàm số F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x).g(x) cũng tuần hoàn trên tập M.
  • Mở rộng: Đối với hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T, với T là bội số chung nhỏ nhất của a và b.

XÂY DỰNG NỀN TẢNG TOÁN HỌC, PHÁT TRIỂN TƯ DUY NĂNG LỰC HỌC TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN NGÔN NGỮ CHO TRẺ CÙNG VỚI MONKEY MATH CHỈ VỚI 2K/NGÀY.

Một số bài toán hàm tuần hoàn có lời giải hay

Sau khi đã biết được hàm số tuần hoàn là hàm số như thế nào? Dưới đây là một số bài toán và phương pháp giải chi tiết để các em tham khảo:

Phương pháp giải

Trước khi đi vào một số ví dụ cụ thể, chúng ta cần nằm qua các kiến thức cơ bản, cũng như phương pháp giải ngay dưới đây:

• Hàm số y= f(x) được xác định trên tập hợp D được gọi là một hàm số tuần hoàn với điều kiện: T ≠ 0 mà với mọi x ∈ D ta có x+T ∈ D;x-T ∈ D và f(x+T)=f(x).
• Trong trường hợp có số T(dương) nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
• Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác (nếu có):
  • Hàm số y = k.sin(ax+b) có chu kì là T= 2π/|a|
  • Hàm số y= k.cos(ax+ b) có chu kì là T= 2π/|a|
  • Hàm số y= k.tan( ax+ b) có chu kì là T= π/|a|
  • Hàm số y= k.cot (ax+ b ) có chu kì là: T= π/|a|
  • Với hàm số y= f(x) có chu kì T1; hàm số T2 có chu kì T2 thì chu kì của hàm số y= a.f(x)+ b.g(x) là T, T được xác định bằng bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Xem thêm: Tổng hợp các dạng bài tập hàm số liên tục từ cơ bản đến nâng cao

Một số ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Cho các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

1. y= sin(x)

2. y = x + 1

3. y= x^2

4. y=(x-1)/(x+2) .

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của hàm số: D= R

Với mọi x ∈ D , k ∈ Z ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D , sin(x+2kπ)=sinx. Vậy y=sinx là hàm số tuần hoàn.

Đáp án: A

Ví dụ 2: Chu kỳ của hàm số y= cotx là:

1. 2π

2. π/4

3. kπ,k ∈ Z

4. π

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của hàm số: D= R\{π/2+κπ,k ∈ Z }

Với mọi x ∈ D;k ∈ Z ta có x-kπ ∈ D;x+kπ ∈ D và cot (x+kπ)=cotx

Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì π (ứng với k = 1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cot (x+kπ)=cotx

Đáp án: D

Ví dụ 3: Tìm chu kì của hàm số: y=sin⁡( 2x- π)+ 1/2 tan⁡( x+ π)

Hướng dẫn giải:

Hàm số y= f(x) = sin( 2x- π) có chu kì T1= 2π/2= π.

Hàm số y= g(x)= 1/2 tan⁡( x+ π) có chu kì T2= π/1= π

Kết luận: Chu kì của hàm số đã cho là: T= π.

Ví dụ 4: Tìm chu kì T của hàm số y= 2cos2x + 4π.

Hướng dẫn giải:

Ta có y= 2cos2x + 4π = cos2x + 1+ 4π.

Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T= π.

Bài tập xét tính tuần hoàn hàm số để bé tự luyện

Khi đã nhận biết được hàm số nào là hàm số tuần hoàn? Dưới đây là một số bài tập để các em áp dụng định nghĩa để thực hành hiệu quả:

Qua bài viết trên, Monkey hy vọng đã cung cấp cho bạn nguồn thông tin bổ ích về hàm số tuần hoàn. Kiến thức bao giờ cũng được dạy từ gốc, thế nhưng với lượng thông tin quá nhiều phải tiếp thu, nhiều học sinh thường quên những gì mình đã được dạy.

Thấu hiểu được điều đó, Monkey đã tạo ra chuyên mục "Kiến thức cơ bản", nơi các bạn có thể ôn lại những kiến thức cũ và học hỏi thêm những điều thú vị mà đôi khi nhà trường không nhắc tới.

Hàm số tuần hoàn với chu kì PI là gì?

y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.6 thg 12, 2023nullLý thuyết và các dạng bài tập hàm số lượng giác 11 - Vuihoc.vnvuihoc.vn › Tin tứcnull

Chu kì PI là gì?

Số pi (ký hiệu: π), còn gọi là hằng số Archimedes, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường tròn đó. Hằng số này có giá trị xấp xỉ bằng 3,142 hoặc 22⁄7 hoặc 355⁄113. Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp π từ giữa thế kỷ XVIII.nullPi – Wikipedia tiếng Việtvi.wikipedia.org › wikinull

Hàm số y sinx tuần hoàn với chu kì T bằng bao nhiêu?

2. Ta có y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π và hàm số y = sin3x là hàm tuần hoàn với chu kì T = (2 π)/3. Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π . Lời giải: Làm tương tự bài 2 và sử dụng chú ý phần tính tuần hoàn và chu kì, ta có hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π .nullTính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác - Toán lớp 11nnvh.tnus.edu.vn › tai-lieu-tham-khao › chi-tiet › tinh-chan-le-va-chu-ki-c...null

Thế nào là 1 hàm số tuần hoàn?

Trong toán học, một hàm tuần hoàn là hàm số lặp lại giá trị của nó trong những khoảng đều đặn hay chu kỳ. Ví dụ quan trọng nhất của những hàm tuần hoàn đó là các hàm lượng giác, mà lặp lại trong khoảng 2π radian.nullHàm tuần hoàn – Wikipedia tiếng Việtvi.wikipedia.org › wiki › Hàm_tuần_hoànnull