Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng được viết theo công thức nào ? Hãy theo dõi ngay bài viết dưới đây của chúng tôi để xem chúng tôi hướng dẫn bạn cách viết thông qua phương pháp và bài tập chi tiết nhé ! Show Tham khảo bài viết khác: Phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng– Phương pháp 1: Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu +) Điều kiện tiếp xúc d ( I; (P) ) = R Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là: (S): ( x – a )^2 + ( y – b )^2 + ( z – c )^2 = R^2 +) Tâm I sao cho I sẽ nằm trên đường thẳng D đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng (P). – Phương pháp 2: Gọi I (a; b; c) ⇒ vecto IM = (x0 – a ; y0 – b ; z0 – c) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n = (A; B; C) Sử dụng các điều kiện cho trước để tìm k ⇒ I; R Bài tập viết Phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳngBài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0. – Hướng dẫn giải: Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là: Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu R=d(I;(P))=8/3 Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với (P) là: ( x – 1 )^2 + ( y + 2 )^2 + z^2 = 64/9 Bài tập 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình (P): x – 2y + z – 1 = 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ xM=1 – Hướng dẫn giải: Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ xM=1 nên M (1; y0; 0) Mặt khác M thuộc mặt phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0 =-5 ⇒ M (1; -5;0) Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu ⇒ vecto IM = (1-a; -5-b; -c) Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n=(2;1;-1) Do mặt cầu tiếp xúc với (Q) tại điểm M nên IM→ vuông góc với mặt phẳng (Q) Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) ⇒ a – 2b + c – 1=0 ⇔ 1-2k + 2(5+k) + k – 1=0 ⇔ k = -10 Với k = -10 thì I (21; 5; -10) Bán kính của mặt cầu là R=| vecto IM |=|k . vecto n | Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x – 21 )^2 + ( y-5 )^2 + ( z + 10 )^2 = 600 Cám ơn bạn đã theo dõi bài viết này của chúng tôi, hy vọng bài viết này sẽ đem đến cho bạn những giá trị nội dung hấp dẫn, hữu ích nhất cho các bạn nhé !
Trường THPT Văn Hiến được thành lập ngày 19 tháng 6 năm 2000 theo Quyết định số 2919QĐ-UB của Ủy ban Nhân dân Thành phố Hà Nội. Từ ngày thành lập đến nay, Trường luôn ổn định và phát triển, đã đào tạo trên 6300 lượt học sinh tốt nghiệp ra trường. Tỉ lệ đỗ tốt nghiệp THPT luôn đạt và vượt chỉ tiêu chung của Thành phố. Tỉ lệ đỗ và học tiếp ở các trường Đại học, Cao đẳng trong và ngoài nước đạt trên 70%. Đoàn TNCS HCM của Trường luôn được Quận Đoàn và Thành Đoàn Thành phố khen thưởng.
Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu · Điều kiện tiếp xúc $d\left( I;\left( P \right) \right)=R$. · Tâm I sẽ nằm trên đường thẳng D đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Bài tập viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng có đáp án chi tiết
Lời giải chi tiết Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $M\left( 1;-2;3 \right)$ nên $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM$ qua $M\left( 1;-2;3 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;1;1 \right)$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=-2+t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.$ Gọi $I\left( 1+3t;-2+t;3+t \right)$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 11{{t}^{2}}={{\left( 3t+2 \right)}^{2}}+{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 12t+12=0\Leftrightarrow t=-1$. Suy ra $I\left( -2;-3;2 \right);R=IA=\sqrt{11}\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=11$.
Lời giải chi tiết Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $M\left( 2;-3;-2 \right)$ nên $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM$ qua $M\left( 2;-3;-2 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;3 \right)$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=2+t \\ {} y=-3+2t \\ {} z=-2+3t \\ \end{array} \right.$ Gọi $I\left( 2+t;-3+2t;-2+3t \right)$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}={{\left( t+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-4 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-4 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 36-36t=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left( 3;-1;1 \right);R=IA=\sqrt{14}$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14$.
Lời giải chi tiết Bán kính mặt cầu tâm I là: $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -1 \right)-2-2-3 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=3$. Do đó phương trình mặt cầu là: ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Mặt cầu có tâm $I\left( 1;1;1 \right);\text{ }R=\sqrt{3}$. Mặt phẳng cầm tìm có dạng $\left( P \right):x+y+z+m=0\text{ }\left( \text{Do }\left( P \right)//\left( \alpha \right)\Rightarrow m\ne 0 \right)$. Điều kiện tiếp xúc: $d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| m+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0\text{ }\left( loai \right) \\ {} m=-6 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Gọi $I\left( t;-1;-t \right)\in d$, do $\left( S \right)$ tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên: $d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 1-t \right|}{3}=\frac{\left| 5-t \right|}{3}\Leftrightarrow t=3\Rightarrow R=\frac{2}{3}$. Phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\frac{4}{9}$. Chọn B.
Lời giải chi tiết Do $I\in d$ ta gọi $I\left( 1+3t;-1+t;t \right)$ khi đó $IA=d\left( I;\left( P \right) \right)=R$ $\Leftrightarrow \sqrt{11{{t}^{2}}-2t+1}=\frac{\left| 5t+3 \right|}{3}=R\Leftrightarrow 9\left( 11{{t}^{2}}-2t+t \right)={{\left( 5t+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=0\Rightarrow R=1 \\ {} t=\frac{24}{37}\Rightarrow R=\frac{77}{37} \\ \end{array} \right.$ Do $\left( S \right)$ có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn $t=0;R=1\Rightarrow I\left( 1;-1;1 \right)\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. Chọn A.
Lời giải chi tiết Gọi $I\left( a;b;c \right)$ ta có: $d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=d\left( I;\left( \beta \right) \right)=d\left( I;\left( \gamma \right) \right)$ suy ra $R=\left| a-1 \right|=\left| b+1 \right|=\left| c-1 \right|$. Do điểm $A\left( 2;-2;5 \right)$ thuộc miền $x>1;\text{ }y<-1;\text{ }z>1$ nên $I\left( a;b;c \right)$ cũng thuộc miền $x>1;\text{ }y<-1;\text{ }z>1$. Khi đó $I\left( R+1;-1-R;R+1 \right)$. Mặt khác $IA=R\Rightarrow \left( {{R}^{2}}-1 \right)+{{\left( R-1 \right)}^{2}}+{{\left( R-4 \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=3$. Chọn D. |