Ứng dụng ma trận nghịch đảo giải phương trình

Phương pháp ma trận Các giải pháp SLAU dùng để giải các hệ phương trình trong đó số phương trình tương ứng với số ẩn số. Phương pháp này được sử dụng tốt nhất để giải các hệ thống bậc thấp. Phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính dựa trên việc áp dụng các tính chất của phép nhân ma trận.

Bằng cách này, nói cách khác phương pháp ma trận nghịch đảo,được gọi như vậy, vì nghiệm được rút gọn thành phương trình ma trận thông thường, để có nghiệm mà bạn cần tìm ma trận nghịch đảo.

Phương pháp giải ma trận SLAE có định thức lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0 như sau:

Giả sử có một SLE (hệ phương trình tuyến tính) với N không xác định (trên một trường tùy ý):

Vì vậy, có thể dễ dàng chuyển nó thành dạng ma trận:

AX = B, ở đâu Một là ma trận chính của hệ thống, B và X- cột thành viên miễn phí và giải pháp của hệ thống, tương ứng:

Nhân phương trình ma trận bên trái này với A -1- ma trận nghịch đảo thành ma trận Đáp: A −1 (AX) = A −1 B.

Tại vì A −1 A = E, có nghĩa, X = A −1 B. Vế phải của phương trình cung cấp một cột nghiệm cho hệ ban đầu. Điều kiện để có thể áp dụng phương pháp ma trận là tính không đồng nhất của ma trận Một. Điều kiện cần và đủ cho việc này là yếu tố quyết định của ma trận Một:

detA ≠ 0.

Vì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, I E. nếu vectơ B = 0, quy tắc ngược lại nắm giữ: hệ thống AX = 0 là một giải pháp không tầm thường (tức là không bằng 0) chỉ khi detA = 0. Mối liên hệ này giữa các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất được gọi là thay thế cho Fredholm.

Như vậy, nghiệm của SLAE theo phương pháp ma trận được thực hiện theo công thức

. Hoặc, giải pháp SLAE được tìm thấy bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo A -1.

Người ta biết rằng một ma trận vuông NHƯNG gọi món N trên N có một ma trận nghịch đảo A -1 chỉ khi định thức của nó khác không. Do đó hệ thống N phương trình đại số tuyến tính với Nẩn số chỉ được giải bằng phương pháp ma trận nếu định thức của ma trận chính của hệ không bằng 0.

Mặc dù thực tế là có những hạn chế về khả năng sử dụng phương pháp này và có những khó khăn trong tính toán đối với các giá trị lớn của hệ số và hệ thống bậc cao, phương pháp này có thể dễ dàng thực hiện trên máy tính.

Một ví dụ về việc giải quyết SLAE không đồng nhất.

Trước tiên, hãy kiểm tra xem yếu tố quyết định của ma trận hệ số đối với SLAE chưa biết có bằng không hay không.

Bây giờ chúng tôi tìm thấy ma trận liên minh, chuyển nó và thay nó vào công thức xác định ma trận nghịch đảo.

Chúng tôi thay thế các biến trong công thức:

Bây giờ chúng ta tìm ẩn số bằng cách nhân ma trận nghịch đảo và cột các số hạng tự do.

Cho nên, x = 2; y = 1; z = 4.

Khi chuyển từ dạng SLAE thông thường sang dạng ma trận, hãy cẩn thận với thứ tự của các biến chưa biết trong hệ phương trình. Ví dụ:

KHÔNG viết là:

Trước tiên, cần phải sắp xếp thứ tự các biến chưa biết trong mỗi phương trình của hệ thống và chỉ sau đó tiến hành ký hiệu ma trận:

Ngoài ra, bạn cần phải cẩn thận với việc chỉ định các biến không xác định, thay vì x 1, x 2,…, x n có thể có các chữ cái khác. Ví dụ:

ở dạng ma trận, chúng ta viết:

Sử dụng phương pháp ma trận, tốt hơn là giải các hệ phương trình tuyến tính trong đó số phương trình trùng với số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ không bằng không. Khi có nhiều hơn 3 phương trình trong hệ, sẽ tốn nhiều công sức tính toán hơn để tìm ra ma trận nghịch đảo, do đó, trong trường hợp này, nên sử dụng phương pháp Gauss để giải.

Phương trình nói chung, phương trình đại số tuyến tính và hệ của chúng, cũng như các phương pháp giải chúng, chiếm một vị trí đặc biệt trong toán học, cả lý thuyết và ứng dụng.

Điều này là do thực tế là phần lớn các bài toán vật lý, kinh tế, kỹ thuật và thậm chí cả sư phạm có thể được mô tả và giải bằng cách sử dụng nhiều phương trình và hệ thống của chúng. Gần đây, mô hình toán học đã trở nên phổ biến đặc biệt trong các nhà nghiên cứu, nhà khoa học và thực hành trong hầu hết các lĩnh vực chủ đề, điều này được giải thích bởi những ưu điểm rõ ràng của nó so với các phương pháp nổi tiếng và đã được chứng minh khác để nghiên cứu các đối tượng có bản chất khác nhau, đặc biệt, cái gọi là phức các hệ thống. Có rất nhiều định nghĩa khác nhau về một mô hình toán học được các nhà khoa học đưa ra vào những thời điểm khác nhau, nhưng theo chúng tôi, thành công nhất là phát biểu sau đây. Một mô hình toán học là một ý tưởng được thể hiện bằng một phương trình. Vì vậy, khả năng lập và giải các phương trình và hệ thống của chúng là một đặc điểm không thể thiếu của một chuyên gia hiện đại.

Để giải hệ phương trình đại số tuyến tính, các phương pháp thường được sử dụng là: Cramer, Jordan-Gauss và phương pháp ma trận.

Phương pháp giải ma trận - một phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính với định thức khác 0 bằng ma trận nghịch đảo.

Nếu ta viết hệ số của các giá trị chưa biết xi vào ma trận A, gom các giá trị chưa biết vào vectơ cột X và các số hạng tự do vào vectơ cột B, thì hệ phương trình đại số tuyến tính có thể viết được. là phương trình ma trận sau A X = B, chỉ có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận A không bằng 0. Trong trường hợp này, nghiệm của hệ phương trình có thể được tìm thấy theo cách sau X = Một-một · B, ở đâu Một-1 - ma trận nghịch đảo.

Phương pháp giải ma trận như sau.

Cho một hệ phương trình tuyến tính đã cho với N không xác định:

Nó có thể được viết lại dưới dạng ma trận: CÂY RÌU = B, ở đâu Một- ma trận chính của hệ thống, B và X- cột thành viên miễn phí và giải pháp của hệ thống, tương ứng:

Nhân phương trình ma trận bên trái này với Một-1 - ma trận nghịch đảo với ma trận Một: Một -1 (CÂY RÌU) = Một -1 B

Như Một -1 Một = E, chúng tôi nhận được X= A -1 B. Vế phải của phương trình này sẽ cho một cột các nghiệm của hệ ban đầu. Điều kiện để có thể áp dụng phương pháp này (cũng như sự tồn tại chung của một nghiệm cho một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất với số phương trình bằng số ẩn số) là tính không đồng nhất của ma trận Một. Điều kiện cần và đủ cho việc này là yếu tố quyết định của ma trận Một: det Một≠ 0.

Đối với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nghĩa là, khi vectơ B = 0 , thực sự là quy luật ngược lại: hệ thống CÂY RÌU = 0 có một nghiệm không tầm thường (nghĩa là khác 0) chỉ khi det Một= 0. Mối liên hệ như vậy giữa các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất được gọi là phương án Fredholm.

Ví dụ nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất.

Hãy đảm bảo rằng định thức của ma trận, bao gồm các hệ số của ẩn số của hệ phương trình đại số tuyến tính, không bằng 0.

Bước tiếp theo là tính toán đại số bổ sung cho các phần tử của ma trận bao gồm các hệ số của ẩn số. Chúng sẽ cần thiết để tìm ma trận nghịch đảo.

Giả sử có một ma trận vuông bậc n

Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảođối với ma trận A, nếu A * A -1 = E, trong đó E là ma trận nhận dạng của bậc n.

Ma trận đơn vị- một ma trận vuông như vậy, trong đó tất cả các phần tử dọc theo đường chéo chính, đi từ góc trên bên trái sang góc dưới bên phải, là các phần tử và phần còn lại là số không, ví dụ:

ma trận nghịch đảo có thể tồn tại chỉ dành cho ma trận vuông những thứ kia. cho những ma trận có cùng số hàng và số cột.

Để một ma trận có một ma trận nghịch đảo, điều cần thiết và đủ là nó không sinh ra.

Ma trận A = (A1, A2, ... A n) được gọi là không thoái hóa nếu các vectơ cột là độc lập tuyến tính. Số vectơ cột độc lập tuyến tính của ma trận được gọi là hạng của ma trận. Do đó, chúng ta có thể nói rằng để tồn tại một ma trận nghịch đảo, cần và đủ rằng hạng của ma trận bằng số chiều của nó, tức là r = n.

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo

1. Viết ma trận A vào bảng giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss và bên phải (thay cho phần bên phải của phương trình) gán ma trận E cho nó.
2. Sử dụng các phép biến đổi Jordan, đưa ma trận A về ma trận bao gồm các cột đơn; trong trường hợp này, cần phải biến đổi đồng thời ma trận E.
3. Nếu cần, hãy sắp xếp lại các hàng (phương trình) của bảng cuối cùng để thu được ma trận nhận dạng E dưới ma trận A của bảng ban đầu.
4. Viết ma trận nghịch đảo A -1 nằm trong bảng cuối cùng dưới ma trận E của bảng ban đầu.

ví dụ 1

Đối với ma trận A, hãy tìm ma trận nghịch đảo A -1

Giải: Chúng ta viết ra ma trận A và ở bên phải chúng ta gán ma trận nhận dạng E. Sử dụng các phép biến đổi Jordan, chúng ta giảm ma trận A thành ma trận nhận dạng E. Các phép tính được thể hiện trong Bảng 31.1.

Hãy kiểm tra tính đúng đắn của các phép tính bằng cách nhân ma trận gốc A và ma trận nghịch đảo A -1.

Theo kết quả của phép nhân ma trận, ma trận nhận dạng được thu được. Do đó, các tính toán là chính xác.

Trả lời:

Giải pháp của phương trình ma trận

Các phương trình ma trận có thể giống như sau:

AX = B, XA = B, AXB = C,

trong đó A, B, C là các ma trận đã cho, X là ma trận mong muốn.

Phương trình ma trận được giải bằng cách nhân phương trình với ma trận nghịch đảo.

Ví dụ, để tìm ma trận từ một phương trình, bạn cần nhân phương trình này với bên trái.

Do đó, để tìm nghiệm của phương trình, bạn cần tìm ma trận nghịch đảo và nhân nó với ma trận ở vế phải của phương trình.

Các phương trình khác được giải tương tự.

Ví dụ 2

Giải phương trình AX = B nếu

Quyết định: Vì nghịch đảo của ma trận bằng (xem ví dụ 1)

Phương pháp ma trận trong phân tích kinh tế

Cùng với những người khác, họ cũng tìm thấy ứng dụng phương pháp ma trận. Các phương pháp này dựa trên đại số tuyến tính và vectơ-ma trận. Các phương pháp này được sử dụng cho mục đích phân tích các hiện tượng kinh tế phức tạp và đa chiều. Thông thường, các phương pháp này được sử dụng khi cần so sánh hoạt động của các tổ chức và các bộ phận cấu trúc của chúng.

Trong quá trình áp dụng phương pháp phân tích ma trận, có thể phân biệt một số giai đoạn.

Ở giai đoạn đầu tiên Việc hình thành một hệ thống các chỉ tiêu kinh tế được thực hiện và trên cơ sở đó, một ma trận dữ liệu ban đầu được tổng hợp, là một bảng trong đó các số của hệ thống được thể hiện trong các dòng riêng lẻ của nó. (i = 1,2, ...., n) và dọc theo đồ thị dọc - số lượng các chỉ số (j = 1,2, ...., m).

Ở giai đoạn thứ haiđối với mỗi cột dọc, giá trị lớn nhất có sẵn của các chỉ số được hiển thị, được coi là một đơn vị.

Sau đó, tất cả số tiền được phản ánh trong cột này được chia cho giá trị lớn nhất và một ma trận các hệ số chuẩn hóa được hình thành.

Ở giai đoạn thứ ba tất cả các thành phần của ma trận là bình phương. Nếu chúng có ý nghĩa khác nhau, thì mỗi chỉ số của ma trận được gán một hệ số trọng số nhất định k. Giá trị của sau này được xác định bởi một chuyên gia.

Vào cuối giai đoạn thứ tư giá trị tìm thấy của xếp hạng Rjđược nhóm lại theo thứ tự tăng hoặc giảm.

Ví dụ, các phương pháp ma trận nêu trên được sử dụng trong phân tích so sánh các dự án đầu tư khác nhau, cũng như trong việc đánh giá các chỉ tiêu hoạt động kinh tế khác của các tổ chức.

Coi như hệ phương trình đại số tuyến tính(CHẬM) về N không xác định x 1 , x 2 , ..., x N :

Hệ thống này ở dạng "gấp" có thể được viết như sau:

S N i = 1 một ij x j = b tôi , i = 1,2, ..., n.

Theo quy tắc nhân ma trận, hệ phương trình tuyến tính đã xét có thể được viết trong dạng ma trận ax = b, ở đâu

Ma trận Một, các cột của nó là hệ số cho các ẩn số tương ứng và các hàng là hệ số cho các ẩn số trong phương trình tương ứng được gọi là ma trận hệ thống. ma trận cột b, mà các phần tử của nó là phần bên phải của phương trình của hệ thống, được gọi là ma trận của phần bên phải hoặc đơn giản bên phải của hệ thống. ma trận cột x , mà các phần tử của chúng là ẩn số chưa biết, được gọi là giải pháp hệ thống.

Hệ phương trình đại số tuyến tính được viết dưới dạng ax = b, là một phương trình ma trận.

Nếu ma trận của hệ thống không thoái hóa, thì nó có một ma trận nghịch đảo, và sau đó là nghiệm của hệ thống ax = bđược đưa ra bởi công thức:

x = A -1 b.

Ví dụ Giải quyết hệ thống

phương pháp ma trận.

Quyết định tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận hệ số của hệ thống

Tính định thức bằng cách mở rộng trên hàng đầu tiên:

Trong chừng mực Δ ≠ 0 , sau đó Một -1 hiện hữu.

Ma trận nghịch đảo được tìm thấy chính xác.

Hãy cùng tìm giải pháp cho hệ thống

Vì thế, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Kiểm tra:

7. Định lý Kronecker-Capelli về sự tương thích của một hệ phương trình đại số tuyến tính.

Hệ phương trình tuyến tính giống như:

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m.

Ở đây cho trước a i j và b i (i =; j =) và x j là các số thực chưa biết. Sử dụng khái niệm tích của ma trận, chúng ta có thể viết lại hệ thống (5.1) dưới dạng:

trong đó A = (a i j) là ma trận bao gồm các hệ số của ẩn số của hệ (5.1), được gọi là ma trận hệ thống, X = (x 1, x 2, ..., x n) T, B = (b 1, b 2, ..., b m) T - vectơ cột gồm các số hạng x j chưa biết và b i.

Bộ sưu tập đã đặt hàng N các số thực (c 1, c 2, ..., c n) được gọi là giải pháp hệ thống(5.1) nếu kết quả của việc thay các số này thay cho các biến tương ứng x 1, x 2, ..., x n thì mỗi phương trình của hệ chuyển thành một cấp số cộng; nói cách khác, nếu tồn tại vectơ C = (c 1, c 2, ..., c n) T sao cho AC  B.

Hệ thống (5.1) được gọi là chung, hoặc tan nếu nó có ít nhất một giải pháp. Hệ thống được gọi là không tương thích, hoặc không hòa tan nếu nó không có giải pháp.

,

được hình thành bằng cách gán một cột các số hạng tự do cho ma trận A ở bên phải, được gọi là hệ thống ma trận mở rộng.

Câu hỏi về tính tương thích của hệ thống (5.1) được giải quyết bằng định lý sau.

Định lý Kronecker-Capelli . Hệ phương trình tuyến tính là nhất quán nếu và chỉ khi bậc của ma trận A và A trùng nhau, tức là r (A) = r (A) = r.

Đối với tập M các giải pháp cho hệ thống (5.1), có ba khả năng xảy ra:

1) M =  (trong trường hợp này hệ thống không nhất quán);

2) M bao gồm một phần tử, tức là hệ thống có một giải pháp duy nhất (trong trường hợp này, hệ thống được gọi là chắc chắn);

3) M gồm nhiều hơn một phần tử (khi đó hệ có tên là không chắc chắn). Trong trường hợp thứ ba, hệ thống (5.1) có vô số nghiệm.

Hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi r (A) = n. Trong trường hợp này, số phương trình không nhỏ hơn số ẩn số (mn); nếu m> n, thì m-n đẳng thức là hệ quả của phần còn lại. Nếu 0