Miền trong của khối đa diện là gì

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) \((H)\) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện \((H)\). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện \((H)\).

2. Khái niệm về khối đa diện

Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện \((H)\) được gọi là khối đa diện \((H)\).

Mỗi đa diện \((H)\) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của \((H)\). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của \((H)\).

Khối đa diện \((H)\) là hợp của hình đa diện \((H)\) và miền trong của nó.

3. Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện

a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) với điểm \(M’\) xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.

e) Một số ví dụ về phép dời hình trong không gian :

- Phép dời hình tịnh tiến theo vector \(\vec v\), là phép biến hình biến điểm \(M\) thành \(M’\) sao cho \(\vec{MM'}=\vec v\).

- Phép đối xứng qua mặt phẳng \((P)\), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc \((P)\) thành chính nó, biến điểm \(M\) không thuộc \((P)\) thành điểm \(M’\) sao cho \((P)\) là mặt phẳng trung trực của \(MM’\).
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng \((P)\) biến hình \((H)\) thành chính nó thì \((P)\) được gọi là mặt phẳng đối xứng của \((H)\).

- Phép đối xứng tâm \(O\), là phép biến hình biến điểm \(O\) thành chính nó, biến điếm \(M\) khác \(O\) thành điểm \(M’\) sao cho \(O\) là trung điểm của \(MM’\).

Nếu phép đối xứng tâm \(O\) biến hình \((H)\) thành chính nó thì \(O\) được gọi là tâm đối xứng của \((H)\).

- Phép đối xứng qua đường thẳng \(d\), là phép biến hình mọi điểm thuộc \(d\) thành chính nó, biến điểm \(M\) không thuộc \(d\) thành điểm \(M’\) sao cho \(d\) là trung trực của \(MM’\). Phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) còn được gọi là phép đối xứng qua trục \(d\).
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) biến hình \((H)\) thành chính nó thì \(d\) được gọi là trục đối xứng của \((H)\).

g) Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

h) Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

4. Lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện \((H)\) là hợp của hai khối đa diện \((H_{1}),(H_{2})\), sao cho \((H_{1})\) và \((H_{2})\) không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện \((H)\) thành hai khối đa diện \((H_{1})\) và \((H_{2})\), hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện \((H_{1})\) và \((H_{2})\) với nhau để được khối đa diện \((H)\).

Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.

5. Kiến thức bổ sung
Phép vị tự trong không gian và sự đồng dạng giữa các khối đa diện.

a) Phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(k\) \((k\neq0)\) là phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M’\) sao cho \(\vec{OM'}=k\vec{OM}\)

b) Hình \((H)\) được gọi là đồng dạng với hình \((H’)\) nếu có một phép vị tự biến \((H)\) thành \((H_{1})\) và \((H_{1})\) bằng \((H’)\).

Loigiaihay.com

1. Khối đa diện lồi

Khối đa diện \((H)\) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của \((H)\) luôn thuộc \((H)\). Khi đó đa diện giới hạn \((H)\) được gọi là đa diện lồi.

Cách định nghĩa khác: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

2. Khối đa diện đều

Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại \(\left\{{ p,q}\right\}\) nếu:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều \(p\) cạnh.

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng \(q\) mặt.

Nhận xét

+) Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.

+) Có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại \(\left\{{3,3}\right\}\), loại \(\left\{{4,3}\right\}\), loại \(\left\{{3,4}\right\}\), loại \(\left\{{5,3}\right\}\), và loại \(\left\{{3,5}\right\}\).

Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.

Khối đa diện đều loại \(\left\{ {n;p} \right\}\) có \(\text{Đ}\) đỉnh, \(C\) cạnh và \(M\) mặt thì: \(p\text{Đ} = 2C = nM\)

- Khi trải phẳng các khối đa diện đều trên ta sẽ được các hình vẽ sau:

- Định lý Ơ-le: Mọi khối đa diện lồi đều có \(D - C + M = 2\), ở đó \(D,C,M\) lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện.

Loigiaihay.com

Khối đa diện là phần kiến thức cơ bản mà học sinh THPT khi học về hình học cần nắm vững. Để hiểu rõ hơn về các loại khối đa diện, cách nhận diện khối đa diện và phân cắt chúng, học sinh cùng VUIHOC tìm hiểu ngay trong bài viết sau đây!

Hình đa diện là hình học gồm các đa giác phẳng thỏa mãn các tính chất sau:

• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc chỉ có một cạnh chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung. Có nghĩa là, hình mà 2 đa giác không thuộc các trường hợp trên hoặc có nhiều hơn 1 trường hợp trong các trường hợp trên đều không là hình đa diện.

Ví dụ:

Hình trên đây không phải hình đa diện bởi hình tam giác và hình chữ nhật không thỏa mãn điều kiện “không có điểm chung”. Cụ thể, 2 đa giác này có 1 điểm chung nhưng điểm đó lại không phải đỉnh chung.

• Mỗi cạnh của mọi đa giác đều là cạnh chung của đúng 2 đa giác.

Hình trên đây không phải hình đa diện bởi có 1 cạnh màu đỏ là cạnh chung của 4 mặt.

Một số hình đa diện quen thuộc học sinh đã được biết đến từ lớp 11 như: hình tứ diện, hình lăng trụ, hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình chóp cụt,...

2. Lý thuyết khối đa diện

2.1. Khối đa diện là gì?

Các em học sinh đã từng được biết đến khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp,... Đó là những khối đa diện. Vậy, định nghĩa chung của khối đa diện là gì?

Khối đa diện được xác định là không gian miền trong của mỗi hình đa diện tạo thành. Nghĩa là, mỗi hình đa diện sẽ có 1 khối đa diện tương ứng.

2.2. Đặc điểm, tính chất về khối đa diện

Một số đặc điểm và tính chất về khối đa diện mà học sinh cần nhớ khi tiến hành làm các bài tập khối đa diện như sau:

Tính chất 1: Cho một khối tứ diện đều, ta có:

+ Đỉnh của một khối tứ diện đều khác là trọng tâm của các mặt.

+ Trung điểm của mọi cạnh chính là các đỉnh của khối bát diện đều.

Tính chất 2: Cho khối lập phương, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành 1 khối bát diện đều.

Tính chất 3: Cho khối bát diện đều, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành một khối lập phương.

Tính chất 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

+ Ba đường chéo giao nhau tại vị trí trung điểm của mỗi đường.

+ Ba đường chéo vuông góc với nhau theo từng đôi một.

+ Ba đường chéo bằng nhau.

Tính chất 5: Một khối đa diện phải có tối thiểu 4 mặt.

Tính chất 6: Hình đa diện có tối thiểu 6 cạnh.

Tính chất 7: Không tồn tại đa diện có 7 cạnh.

2.3. Ví dụ về các khối đa diện

Một số khối đa diện thường gặp:

3. Khối đa diện lồi là gì?

Khối đa diện lồi được xác định bằng đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì thuộc khối đa diện. Nếu đoạn thẳng đó nằm hoàn toàn trên khối đa diện thì đó là đa diện lồi.

Ví dụ như khối lăng trụ, khối chóp là các đa diện lồi:

Ngược lại, trường hợp hình sau đây không phải đa diện lồi vì đoạn MN không thuộc trong khối đa điện:

4. Lý thuyết khối đa diện đều

4.1. Định nghĩa

Khối đa diện đều là trường hợp đa diện đặc biệt trong số các khối đa diện lồi. Để xác định khối đa diện đều cần thỏa mãn 2 điều kiện sau đây:

• Mỗi mặt của khối đa diện là đa giác đều có p cạnh.

• Mỗi đỉnh đều là đỉnh chung của q mặt.

Như vậy ta được khối đa diện đều loại {p;q}. 

4.2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Có 5 khối đa diện đều đã được chứng minh và có đặc điểm như bảng sau đây:

5. Cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Khi phân chia, lắp ghép các khối đa diện, học sinh cần chú ý tới các điểm ngoài và điểm trong của khối đa diện. 

• Những điểm không thuộc trong khối đa diện ta gọi là điểm ngoài, tập hợp các điểm nằm ngoài khối đa diện được gọi là miền ngoài.

• Những điểm thuộc trong khối đa diện nhưng không nằm trên viền bao ngoài hình đa diện được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong khối đa diện tạo nên miền trong khối đa diện.

Cho khối đa diện (H) là kết hợp của hai khối đa diện (H1) và đa diện (H2) thỏa mãn:

• (H1) và (H2) không có điểm trong chung nào thì ta nói đa diện (H) phân chia được thành 2 khối đa điện (H1) và (H2).

• Có thể ghép hai khối (H1) và (H2) để hình thành được khối (H).

Ví dụ 1: Phân chia lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng mặt phẳng (A’BC), ta được hai khối đa diện mới  là A’ABC và A’BCC’B’.

Ví dụ 2: Khối lập phương có thể được phân chia thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

Giải:

Bằng mặt phẳng (BDD’B’), ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và lăng trụ BCD.B’C’D’.

+ Với khối ABD.A’B’D’, lần lượt dùng các mặt phẳng ( AB’D) và (AB’D’) chia làm ba khối tứ diện bằng nhau.

+ Tương tự với khối BCD.B’C’D’ cũng chia được thành ba khối tứ diện đều bằng nhau.

Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau được hình thành từ khối lập phương ban đầu.

6. Một số bài tập về các khối đa diện và phương pháp giải 

Bài 1: Xét các hình sau, hình nào là hình đa diện?

Giải:

Hình đa diện là hình học tạo thành bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn đầy đủ hai tính chất sau:

• Hai đa giác bất kì có đặc điểm hoặc là không có điểm chung hoặc chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung.

• Mọi cạnh của đa giác đều là cạnh chung của duy nhất hai đa giác.

Như vậy, hình 2, 3, 4 đều không thỏa mãn tính chất số 2. Do đó ta chọn A.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Đáy là ABC là tam giác vuông cân ở đỉnh B, AC =$a\sqrt{2}$, SA tạo thành góc 90 độ với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải:

Bài 3: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AA’ = 2a, AD = 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có kích thước AB = a; AC = 2a và $\widehat{BAC}$= 120º, mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy tạo thành một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Bài 5: Xét các hình sau đây, hình nào không phải là hình đa điện?

Giải:

Áp dụng các tính chất của hình đa diện:

+ Mỗi cạnh đều là cạnh chung bất kì của duy nhất hai mặt.

+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 cạnh chung, hoặc 1 định chung, hoặc là không có điểm chung nào.

Ta xét thấy: Hình 4 không thỏa mãn tính chất 2 (hai mặt bất kì có 1 điểm chung – nhưng điểm đó không phải là đỉnh)

Như vậy, hình D không phải hình đa diện.
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các bài tập điển hình về khối đa diện. Để thành thạo hơn về khối đa diện nói riêng và các kiến thức hình học THPT nói chung, các em học sinh hay truy cập trang web giáo dục Vuihoc.vn để trang bị thêm nhiều kiến thức bổ ích hơn nữa nhé!