Giải phương trình đặt ẩn phụ lớp 10

Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình Vô tỉ

1. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đkxđ.

Bước 2: Đặt một (hoặc nhiều) biểu thức thích hợp làm ẩn mới, (thường là các biểu thức chứa căn thức) tìm điều kiện của ẩn mới.

Bước 3: Biến đổi phương trình theo ẩn mới (Có thể biến đổi hoàn toàn thành ẩn mới hoặc để cả 2 ẩn cũ và mới) rồi giải phương trình theo ẩn mới.

Bước 4: Thay trả lại ẩn cũ và tìm nghiệm, đối chiếu đkxđ và kết luận.

2. Ví dụ 

Ví dụ 1: Giải phương trình 

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: ∀ x ∈ R.

Phương trình trở thành:

⇔ 2x2 + 3x + 9 = 36

⇔ 2x2 + 3x - 27 = 0

⇔ (x-3) (2x+9) = 0 .

⇔ x = 3 hoặc x = -9/2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = -9/2.

Ví dụ 2: Giải phương trình 

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 4x2 + 5x + 1 ≥ 0

Phương trình trở thành : a - b = a2 - b2

⇔ (a-b)(a+b-1) = 0 ⇔ a - b = 0 hoặc a + b - 1 = 0.

TH1 : a – b = 0 ⇔ 9x – 3 = 0 ⇔ x = 1/3 (t.m đkxđ).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/3 .

Tham khảo các bài học khác

Trường THPT Trịnh Hoài Đức - Trường Trung Học Chất Lượng Cao

Địa chỉ: DT745, Thạnh Lợi, An Thạnh, Thuận An, Bình Dương

Điện thoại: 0650.825477

Website: https://thpttrinhhoaiduc.edu.vn/

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc 2, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

Đang xem: đặt ẩn phụ giải phương trình chứa căn lớp 10

Vậy chi tiết cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây. Đồng thời vận dụng giải một số phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

° Cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (pt quy về pt bậc 2)

– Sử dụng phương pháp: Bình phương hai vế (nâng lên lũy thừa). Phép biến đổi là hệ quả nên khi tìm ra x, cần thay lại phương trình đã cho kiểm tra nghiệm.

– Hoặc sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:

;

– Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ biến đổi đưa về phương trình bậc 2

– Có thể đưa về pt chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình tích,…

° Vận dụng giải một số bài tập, ví dụ về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

* Bài tập 1 (Bài 7 trang 63 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

a) b)

c) d)

° Lời giải Bài 7 trang 63 SGK Đại số 10:

a) (1)

* Cách 1: Sử dụng phương pháp nâng bậc.

– Điều kiện xác định: 5x + 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ -6/5. Ta có

 (1) ⇒ 5x + 6 = (x – 6)2

 ⇔ 5x + 6 = x2 – 12x + 36

 ⇔ x2 – 17x + 30 = 0

 Có: Δ = (-17)2 – 4.30 = 49 > 0 pt có 2 nghiệm: x1 = 15 ; x2 = 2.

– Đối chiếu điều kiện xác định ta thấy x1, x2 thỏa ĐKXĐ

– Thử lại: x = 15 thỏa nghiệm của (1); x = 2 không phải là nghiệm của (1).

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 15.

* Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 15.

b) (2)

– Điều kiện xác định: 

– Thử lại thấy x = 2 không phải nghiệm của (2); x = -1 là nghiệm của (2).

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.

c) (3)

– Điều kiện xác định: 2×2 + 5 ≥ 0 (luôn đúng). Ta có:

 (3) ⇒ 2×2 + 5 = (x + 2)2 (bình phương 2 vế)

 ⇔ 2×2 + 5 = x2 + 4x + 4

– Thử lại thấy chỉ có x = 2 + √3 là nghiệm của (3)

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 + √3.

d) (4)

– Tập xác định: D=R (vì 4×2 + 2x + 10 >0 với mọi x).

 (4) ⇒ 4×2 + 2x + 10 = (3x + 1)2

 ⇔ 4×2 + 2x + 10 = 9×2 + 6x + 1

 ⇔ 5×2 + 4x – 9 = 0

 ⇔ x = 1 hoặc x = –9/5

– Thử lại thấy chỉ có x = 1 là nghiệm của phương trình (4).

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

* Bài tập 2: Giải các phương trình

a) b)

c) d)

° Lời giải:

a) (1)

* Cách 1: Sử dụng phương pháp nâng bậc.

– Điều kiện xác định: 4 + 2x – x2 ≥ 0. Ta có:

 (bình phương 2 vế)

– Đối chiếu điều kiện xác ta thấy x = 0 và x = 3 đều thỏa ĐKXĐ.

Xem thêm: Đồ Án Thiết Kế Hộp Giảm Tốc 3 Cấp Đồng Trục, (Doc) Đồ Án Thiết Kế Hộp Giảm Tốc Côn

– Thử lại nghiệm ta thấy chỉ có x = 3 là nghiệm pt.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

* Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

b) (2)

– Điều kiện xác định: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3/2.

 (bình phương 2 vế)

– Đối chiếu với điều kiện xác định x = -1 và x = 3 thỏa ĐKXĐ

– Thử lại nghiệm ta thấy chỉ có x = 3 là nghiệm pt.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

c) (3)

– Điều kiện xác định: 25 – x2 ≥ 0 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5.

 (3) ⇒ 25 – x2 = (x – 1)2 (bình phương 2 vế)

 ⇔ 25 – x2 = x2 – 2x + 1

 ⇔ 2×2 – 2x – 24 = 0

 ⇔ x = 4 hoặc x = -3

– Đối chiếu với điều kiện xác định x = -3 và x = 4 thỏa ĐKXĐ

– Thử lại nghiệm chỉ có x = 4 thỏa.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

d) (4)

– Điều kiện xác định: x + 4 ≥ 0; 1 – x ≥ 0; 1 – 2x ≥ 0 ⇔ -4 ≤ x ≤ 1/2.

– Đối chiếu với điều kiện xác định x = 0 và x = -7/2 thỏa ĐKXĐ

– Thử lại nghiệm chỉ có x = 0 thỏa.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

* Lưu ý: – Khi bình phương hai vế có thể xuất hiện thêm nghiệm (gọi là nghiệm ngoại lai), ta cần thử lại nghiệm sau khi giải phương trình này.

– Đặc biệt, với phương trình dạng

 ta chỉ có thể bình phương 2 vế để giải bài toán tương đương khi 2 vế cùng dương (cách này không cần thử lại nghiệm).

* Bài tập 3: Giải phương trình: 

 (*)

° Lời giải:

– Để giải phương trình này, ta có thể giải bằng các cách như sau:

¤ Cách giải 1:

– Kết luận: Phương trình có 1 nghiệm x = 8.

¤ Cách giải 2: 

– Ta đặt ẩn phụ như sau:

 Đặt 

 (điều kiện t ≥ 0) ⇒ t2 = x + 1 ⇒ x = t2 – 1

 Phương trình đã cho (*) trở thành:

 t2 – 1 – t – 5 = 0 ⇔ t2 – t – 6 = 0

 ⇔ t = -2(loại) hoặc t = 3(nhận)

– Với 

– Kết luận: Phương trình có 1 nghiệm x = 8.

Xem thêm: Lý Thuyết Và Bài Tập Về Các Phép Toán Tập Hợp, Các Dạng Toán Về Tập Hợp Và Bài Tập Vận Dụng

Như vậy, với một số phương trình có chứa dấu căn chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải. Hy vọng với bài viết này giúp các em thấy dễ dàng hơn khi gặp các bài toán về phương trình có căn thức, chúc các em học tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình