- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các bất phương trình :
LG a
\[\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 2} > \sqrt {x - 3} \]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Phương trình viết thành
\[\sqrt {x - 1} > \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 3} .\]
Với điều kiện \[x 3\], bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương
\[\begin{array}{l}x - 1 > 2x - 5 + 2\sqrt {\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right]} \\ \Leftrightarrow 4 - x > 2\sqrt {\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right]} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - x \ge 0}\\{{{\left[ {4 - x} \right]}^2} > 4\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right].}\end{array}} \right.\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
\[x \in \left[ {3;\dfrac{{6 + \sqrt {12} }}{3}} \right].\].
LG b
\[2x\left[ {x - 1} \right] + 1 > \sqrt {{x^2} - x + 1} \]
Lời giải chi tiết:
\[x \in \left[ { - \infty ,0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right].\] Hướng dẫn. đặt \[t = \sqrt {{x^2} - x + 1} \ge 0.\]
Bất phương trình trở thành \[2{t^2} - t - 1 > 0.\]
LG c
\[\sqrt {\dfrac{{4x}}{{x - 1}}} - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{4x}}} > \dfrac{3}{2}\]
Lời giải chi tiết:
\[x > 1.\]
LG d
\[\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} - \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}} > \dfrac{{x - 1}}{x}\]
Lời giải chi tiết:
Viết bất phương trình về dạng :
\[\sqrt {\dfrac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}{x}} - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} > \dfrac{{x - 1}}{x}\] hay \[\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \left[ {\sqrt {x + 1} - 1} \right] > \dfrac{{x - 1}}{x}.\]
Điều kiện : \[ - 1 \le x < 0\] hoặc \[x \ge 1.\]
Nhận thấy \[x = 1\] không phải là nghiệm của bất phương trình nên có thể coi \[x 1.\]
Khi đó \[\dfrac{{x - 1}}{x} > 0\] nên bất phương trình đã cho tương đương với
\[\sqrt {x + 1} - 1 > \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} > 1 + \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \] [*]
+ Nếu \[-1 x < 0\] thì \[\sqrt {x + 1} < 1\] suy ra bất phương trình không có nghiệm trong nửa khoảng \[\left[ { - 1;0} \right].\]
+ Với \[x > 1\], bình phương hai vế của [*] ta đi đến :
\[\left[ {x - 1} \right] + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\]
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có
\[\left[ {x - 1} \right] + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[x - 1 = \dfrac{1}{x}\] tức là khi và chỉ khi \[x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\]
Vậy \[\left[ {x - 1} \right] + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \Leftrightarrow 1 < x \ne \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\]
Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là
\[\left[ {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right]\]