Đề bài
Tứ giác \[ABCD\] có hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] vuông góc với nhau tại \[M\]. Gọi \[P\] là trung điểm đoạn thẳng \[AD\]. Chứng minh rằng : \[MP \bot BC\] khi và chỉ khi \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} .\]
Lời giải chi tiết
[h.32].
\[\begin{array}{l}2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = [\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} ].[\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} ]\\= \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \\= \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \end{array}\]
[ Do \[AC \bot BD\] nên \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} = 0\]].
Từ đó ta có
\[\begin{array}{l}MP \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = 0\\\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} .\end{array}\]