Đề bài
Giả sử \[{x_1},{x_2}\] là các nghiệm của phương trình \[{x^2} + 2mx + 4 = 0.\]
Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức :
\[{\left[ {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right]^2} + \left[ {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right] = 3\]
Lời giải chi tiết
\[m = \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\] Gọi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
\[\Delta ' = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 2.\]
Theo định lí Vi-ét, ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2m}\\{{x_1}{x_2} = 4}\end{array}} \right.\]
Nên \[{\left[ {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right]^2} + {\left[ {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right]^2} = \dfrac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2x_2^2}}\]
\[= \dfrac{{{{\left[ {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{x_1^2x_2^2}} - 2 \\= \dfrac{{{{\left[ {4{m^2} - 8} \right]}^2}}}{{16}} - 2\]
Ta có: \[{\left[ {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right]^2} + {\left[ {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right]^2} = 3 \\\Leftrightarrow {\left[ {4{m^2} - 8} \right]^2} = 80\]
\[\Leftrightarrow {\left[ {{m^2} - 2} \right]^2} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 2 + \sqrt 5\]
\[ \Rightarrow m = \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\]
Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \[|m| 2\].