Đề bài
Cho điểm \[M\] cố định trên đường tròn \[[O ; R]\] và hai điểm \[N, P\] chạy trên đường tròn đó sao cho \[\widehat {NMP} = {30^0}\].
a] Tìm quỹ tích trung điểm \[I\] của \[NP.\]
b] Xác định vị trí của \[N, P\] để diện tích tam giác \[MNP\] đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết
[h.59].
a] Ta có \[NP = 2R\sin {30^0} = R,\]
\[ O{I^2} = O{N^2} - N{I^2} \]
\[= {R^2} - \dfrac{{{R^2}}}{4} = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\].
Suy ra \[OI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\] không đổi, do đó \[I\] thuộc đường tròn tâm \[O\] bán kính bằng \[\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\].
Đảo lại, với mỗi điểm \[I\] trên đường tròn đó ta kẻ dây cung \[NP\] của \[[O]\] vuông góc với \[OI\] thì \[NP=2NI=R.\]
Ta có \[\sin \widehat {NMP} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2}\]. Góc \[NMP\] có thể bằng \[30^0\]hoặc bằng \[150^0\]. Dễ thấy \[\widehat {NMP} = {30^0}\] khi và chỉ khi \[O, M\] ở về một phía của \[NP\] hay \[I\] nằm trên cung lớn\[\stackrel\frown {EF}\]của đường tròn \[\left[ {O ; \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right]\] [\[E, F\] là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn \[\left[ {O ; \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right]\] ].
Vậy quỹ tích của \[I\] là cung lớn \[\stackrel\frown {EF}\].
b] Diện tích tam giác MNP là \[S = \dfrac{1}{2}MN.MP.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^0} = \dfrac{1}{4}MN.MP\]. Theo bất đẳng thức Cô-si, \[MN.MP \le \dfrac{{M{N^2} + M{P^2}}}{2}\], mà \[M{N^2} + M{P^2} = 2M{I^2} + \dfrac{{{R^2}}}{2}\] nên \[S \le \dfrac{1}{4}\left[ {M{I^2} + \dfrac{{{R^2}}}{4}} \right]\]. [*]
Ta có \[MI\] lớn nhất khi \[M, O, I\] thẳng hàng và \[O\] nằm giữa \[M, I\]. Khi đó ta cũng có \[MN=MP\] nên [*] xảy ra dấu =. Vậy \[S\] lớn nhất khi và chỉ khi \[MI\] lớn nhất hay \[M ,O, I\] thẳng hàng và \[O\] nằm giữa \[M, I.\]