Đề bài
Cho điểm \[P\] cố định nằm trong đường tròn \[[O ; R]\] và hai điểm \[A, B\] chạy trên đường tròn đó sao cho góc \[APB\] luôn bằng \[90^0\]. Gọi \[M\] là trung điểm của dây \[AB\] và \[H\] là hình chiếu của \[P\] xuống \[AB\]. Chứng minh rằng \[M ,H\] luôn cùng thuộc một đường tròn cố định.
Lời giải chi tiết
[h.39].
Ta có \[{\wp _{H/[O]}} = \overrightarrow {HA} .\overrightarrow {HB} = - H{P^2}\] và \[{\wp _{H/[O]}} = H{O^2} - {R^2}\], suy ra \[H{O^2} + H{P^2} = {R^2}\]. [*]
Tương tự \[{\wp _{M/[O]}} = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = - M{B^2}\] và \[{\wp _{M/[O]}} = M{O^2} - {R^2}\].
Mặt khác tam giác vuông \[APB\] có trung tuyến \[MP = \dfrac{1}{2}AB = MB\].
Từ đó suy ra \[M{O^2} - {R^2} = - M{P^2}\] hay \[M{O^2} + M{P^2} = {R^2}\]. [**]
Từ [*] và [**] ta có \[H, M\] cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm của \[OP\] và bán kính bằng \[\dfrac{1}{2}\sqrt {2{R^2} - O{P^2}} \].