- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Lập phương trình chính tắc của hypebol \[[H]\] biết
LG a
Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là \[x = \pm \dfrac{1}{2} , y = \pm 1\];
Phương pháp giải:
\[[H]\] có phương trình chính tắc: \[ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\].
Lời giải chi tiết:
\[a = \dfrac{1}{2} , b = 1 \Rightarrow \] phương trình của \[[H]\] : \[ \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} - \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\].
LG b
Một đỉnh là \[[3 ; 0]\] và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là \[{x^2} + {y^2} = 16\];
Phương pháp giải:
\[[H]\] có phương trình chính tắc: \[ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\].
Lời giải chi tiết:
\[[3; 0]\] là một đỉnh của \[[H] \Rightarrow a = 3\]. Các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở với trục \[Ox\] là các tiêu điểm của \[[H]\]. Vậy \[c = 4 , {b^2} = {c^2} - {a^2} = 7\].
Phương trình của \[[H]: \dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1\].
LG c
Một tiêu điểm là \[[-10 ; 0]\] và phương trình các đường tiệm cận là \[y = \pm \dfrac{{4x}}{3}\];
Phương pháp giải:
\[[H]\] có phương trình chính tắc: \[ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\].
Lời giải chi tiết:
\[c=10\]. Các tiệm cận có phương trình \[y = \pm \dfrac{4}{3}x\], nên \[ \dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{3}\], suy ra \[ \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{4^2} + {3^2}}}{3} = \dfrac{{25}}{9}\] hay \[ \dfrac{{{{10}^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{25}}{9}\]. Vậy \[{a^2} = 36, {b^2} = 64\].
Phương trình của \[[H]: \dfrac{{{x^2}}}{{36}} - \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\].
LG d
\[[H]\] đi qua \[N[6 ; 3]\] và góc giữa hai đường tiệm cận bằng \[60^0\].
Phương pháp giải:
\[[H]\] có phương trình chính tắc: \[ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\].
Lời giải chi tiết:
Phương trình các đường tiệm cận là \[y = \pm \dfrac{b}{a}x\]. Do góc giữa hai đường tiệm cận là 600và hai đường tiệm cận đối xứng với nhau qua Ox, nên có hai trường hợp:
- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng 300, suy ra \[ \dfrac{b}{a} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{30^0} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\]. [1]
- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng \[60^0\], suy ra \[ \dfrac{b}{a} = \tan {60^0} = \sqrt 3 \]. [2]
\[N \in [H] \Rightarrow \dfrac{{36}}{{{a^2}}} - \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\] [3]
Từ [1] và [3] suy ra \[{a^2} = 9, {b^2} = 3\]. Ta được hypebol \[[H_1]: \dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1\].
Từ [2] và [3] suy ra \[{a^2} = 33 , {b^2} = 99\]. Ta được hypebol \[[H_2]: \dfrac{{{x^2}}}{{33}} - \dfrac{{{y^2}}}{{99}} = 1\].