Đề bài
Trong mặt phẳng [P] cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A cố định thuộc đường tròn, đường kính BC quay quanh O, [BC không trùng với OA]. Đặt \[\widehat {ABC} = \alpha \]. Điểm S nằm trong không gian sao cho SA vuông góc với [P] và SA = 2R.
a] Chứng minh rằng chân đường cao SH của tam giác SBC thuộc một đường tròn cố định.
b] Xác định α để diện tích tam giác SBC đạt giá trị lớn nhất, hãy tính giá trị đó.
Lời giải chi tiết
a] Vì \[SA \bot \left[ P \right]\] và \[SH \bot BC\] nên \[AH \bot BC\] [định lí ba đường vuông góc] hay \[\widehat {AHO} = {90^0}\]. Như vậy H thuộc đường tròn đường kính AO trong mp[P]. Đường tròn này cố định.
b] \[{S_{SBC}} = {1 \over 2}BC.SH = R.SH\]
Do đó SSBClớn nhất khi và chỉ khi SH lớn nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi AH lớn nhất, tức là H và O trùng nhau, khi đó \[\alpha = {45^0}\].
Khi \[\alpha = {45^0}\] thì \[{S_{SBC}} = R.\sqrt {4{{\rm{R}}^2} + {R^2}} = {R^2}\sqrt 5 \].