Do đó \[{u_n} = {{1 - {1 \over {{2^{n - 1}}}}} \over {1 - {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}} = 2 - {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\] với mọi \[n \ge 3.\]
Đề bài
Cho số thực a và dãy số\[\left[ {{u_n}} \right]\]xác định bởi
\[{u_1} = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_{n + 1}} = 1 + {{{u_n}} \over 2}.\]
Tìm\[\lim {u_n}.\]
Lời giải chi tiết
Ta có \[\,{u_2} = 1 + {a \over 2},\,{u_3} = 1 + {{{u_2}} \over 2} = 1 + {1 \over 2} + {a \over {{2^2}}}.\]
Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng:
\[\,\,{u_n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\] với mọi \[n \ge 3.\]
Do đó \[{u_n} = {{1 - {1 \over {{2^{n - 1}}}}} \over {1 - {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}} = 2 - {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},\] với mọi \[n \ge 3.\]
Vậy \[\lim {u_n} = 2.\]