- LG a
- LG b
Cho dãy số \[[{u_n}],\]với \[{u_n} = \sin [2n - 1]{\pi \over 3}.\]
LG a
Chứng minh rằng \[{u_n} = {u_{n + 3}}\] với mọi \[n \ge 1.\]
Lời giải chi tiết:
\[{u_{n + 3}} = \sin \left[ {\left[ {2\left[ {n + 3} \right] - 1} \right]{\pi \over 3}} \right] \]
\[= \sin \left[ {\left[ {2n - 1} \right]{\pi \over 3} + 2\pi } \right]\]
\[= \sin \left[ {\left[ {2n - 1} \right]{\pi \over 3}} \right] = {u_n}\]
LG b
Hãy tính tổng 17 số hàng đầu tiên của dãy số đã cho.
Lời giải chi tiết:
Từ kết quả của phần a], ta có
\[\eqalign{
& {u_1} = {u_4} = {u_7} = {u_{10}} = {u_{13}} = {u_{16}} \cr
& {u_2} = {u_5} = {u_8} = {u_{11}} = {u_{14}} = {u_{17}} \cr
& {u_3} = {u_6} = {u_9} = {u_{12}} = {u_{15}} \cr} \]
Từ đó, kí hiệu \[{S_{17}}\] là tổng cần tính, ta có
\[{S_{17}} = 5\left[ {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right] + {u_1} + {u_2}\] [1]
Bằng cách tình trực tiếp, ta có \[{u_1} = {{\sqrt 3 } \over 2},{u_2} = 0\] và \[{u_3} = - {{\sqrt 3 } \over 2}.\] Do đó, từ [1] ta được
\[{S_{17}} = 5\left[ {{{\sqrt 3 } \over 2} + 0 - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right] + {{\sqrt 3 } \over 2} + 0 = {{\sqrt 3 } \over 2}\]