Đề bài
Cho hình bình hành ABCD. Qua đỉnh A, B, C, D dựng các đường thẳng a, b, c, d tương ứng song song với nhau và không thuộc mp[ABCD]. Trên mỗi đường thẳng a, b, c, d lần lượt lấy các điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\]. Chứng minh rằng:
a] Nếu các điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] không đồng phẳng thì đường thẳng nối trung điểm A1C1và trung điểm B1D1luôn đi qua một điểm cố định.
b] Bốn điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] đồng phẳng khi và chỉ khi trung điểm của A1C1trùng với trung điểm B1D1.
c] Nếu bốn đường thẳng \[A{C_1},B{{\rm{D}}_1},C{A_1},D{B_1}\] đôi một cắt nhau thì \[ABC{\rm{D}}.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] là một hình hộp.
Lời giải chi tiết
a] Xét phép chiếu song song lên mp[ABCD] theo phương chiếu l // a. Khi đó A1C1có hình chiếu là AC nên trung điểm I của A1C1có hình chiếu là trung điểm O của AC.
Tương tự, trung điểm J của B1D1có hình chiếu là trung điểm O của BD.
Do đó, ba điểm I, J, O phải nằm trên một đường thẳng . Đường thẳng này đi qua điểm cố định O.
b] Nếu \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] đồng phẳng thì \[{A_1}{B_1}//{C_1}{D_1}\] vì chúng là giao tuyến của \[mp\left[ {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right]\] với hai mặt phẳng song song \[\left[ {AB{B_1}{A_1}} \right],\left[ {DC{C_1}{D_1}} \right]\].
Tương tự, ta có \[{A_1}{D_1}//{B_1}{C_1}\]. Vậy tứ giác \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] là một hình bình hành. Do đó trung điểm I của A1C1trùng với trung điểm J của B1D1.
Ngược lại, nếu I trùng với J thì các điểm \[{A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\] cùng nằm trên mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau A1C1và B1D1.
c]
Giả sử AC1cắt BD1tại K. Khi đó, ta có \[mp\left[ {A{C_1},B{{\rm{D}}_1}} \right] \equiv mp\left[ {AB{C_1}{D_1}} \right]\].
Mặt phẳng này cắt hai mặt phẳng song song \[\left[ {AB{B_1}{A_1}} \right],\left[ {DC{C_1}{D_1}} \right]\] theo hai giao tuyến song song AB và C1D1, suy ra \[{C_1}{D_1}//C{\rm{D}}\]. Mặt khác \[D{D_1}//C{C_1}\].
Vậy tứ giác \[CD{D_1}{C_1}\] là hình bình hành.
Do đó: \[C{\rm{D}} = {C_1}{D_1} \Rightarrow {C_1}{D_1} = BA\].
Như vậy \[AB{C_1}{D_1}\] là hình bình hành và K là trung điểm của AC1và BD1.
Tương tự, nếu BD1cắt CA1tại K thì \[BC{{\rm{D}}_1}{A_1}\] là hình bình hành và K là trung điểm của BD1và CA1nên K K.
Tương tự, ta cũng suy ra K là trung điểm của B1D, các mặt \[AB{B_1}{A_1},BC{C_1}{B_1}\] đều là hình bình hành và từ đó \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] cũng là hình bình hành. Vậy \[ABC{\rm{D}}.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] là hình hộp.