Đề bài
Cho hình hộp\[ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.\]
a] Chứng minh rằng đường chéo \[{B_1}D\] cắt \[mp\left[ {{A_1}B{C_1}} \right]\] tại điểm G sao cho \[{B_1}G = {1 \over 2}GD\] vàG là trọng tâm của tam giác \[{A_1}B{C_1}.\]
b] Chứng minh rằng \[\left[ {{D_1}AC} \right]//\left[ {B{A_1}{C_1}} \right]\] và trọng tâm G của tam giác \[{D_1}AC\] cũng nằm trên \[{B_1}D\] và \[{B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D.\]
c] Gọi P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của điểm \[{B_1}\] qua \[A,\,{D_1}\] và C. Chứng minh rằng \[\left[ {PQR} \right]//\left[ {B{A_1}{C_1}} \right]\].
d] Chứng minh rằng D là trọng tâm tứ diện \[{B_1}PQR.\]
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[{O_1}\] là giao điểm của \[{A_1}{C_1}\] và \[{B_1}{D_1}.\] Khi đó \[\left[ {{A_1}B{C_1}} \right] \cap \left[ {B{\rm{D}}{D_1}{B_1}} \right] = B{O_1}.\]
Gọi G là giao điểm của \[{B_1}D\] và \[B{O_1}\] thì G chính là giao điểm của \[{B_1}D\] với \[\left[ {{A_1}B{C_1}} \right].\] Dễ thấy \[\Delta GBD \sim \Delta G{O_1}{B_1},\] tỉ số đồng dạng là 2 [do \[{{BD} \over {{B_1}{O_1}}} = 2\]].
Vậy \[{B_1}G = {1 \over 2}GD\] và \[G{O_1} = {1 \over 2}GB,\] suy ra G là trọng tâm tam giác \[{A_1}B{C_1}.\]
b] Dễ thấy
\[AC//{A_1}{C_1},\,{D_1}A//{C_1}B \Rightarrow \left[ {{D_1}AC} \right]//\left[ {B{A_1}{C_1}} \right].\]
Chứng minh tương tự như câu a], ta có trọng tâm G của tam giác \[{D_1}AC\] nằm trên đường chéo \[D{B_1}\] và \[DG' = {1 \over 2}G'{B_1}.\] Từ đó và kết quả của câu a], suy ra G và G chia đường chéo \[{B_1}D\] thành ba phần bằng nhau.
Vậy \[{B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D.\]
c] Do \[A,\,{D_1},\,C\] lần lượt là trung điểm của \[P{B_1},\,Q{B_1},\,R{B_1}\] nên
\[PQ//A{D_1},\,QR//{D_1}C,\,RP//CA.\]
Từ đó suy ra: \[\left[ {PRQ} \right]//\left[ {A{D_1}C} \right].\]
Mặt khác, theo câu b], ta có \[\left[ {{D_1}AC} \right]//\left[ {B{A_1}{C_1}} \right],\] nên \[\left[ {PRQ} \right]//\left[ {B{A_1}{C_1}} \right].\]
d] Vì \[A,\,{D_1},\,C\] lần lượt là trung điểm của \[{B_1}P,\,{B_1}Q,\,{B_1}R\] nên trọng tâm G của tam giác PRQ phải nằm trên đường thẳng \[{B_1}G'\] và \[{B_1}G'' = 2{B_1}G'.\] Mặt khác \[{B_1}G' = {2 \over 3}{B_1}D,\] nên
\[{B_1}G'' = {4 \over 3}{B_1}D \Rightarrow {B_1}D = {3 \over 4}{B_1}G''.\]
Vậy D là trọng tâm tứ diện \[{B_1}PQR.\]