Đề bài
Chứng minh rằng hai tam giác bằng nhau nếu có các đường tròn nội tiếp bằng nhau, một cặp đường tròn bàng tiếp bằng nhau, đồng thời khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của hai tam giác đó cũng bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử tam giác ABC có đường tròn nội tiếp [O;r],đường tròn bàng tiếp góc A là [I; R],tam giác ABCcó đường tròn nội tiếp [O'; r],đường tròn bàng tiếp góc Alà [I'; R]; đồng thời OI = O'I'.
Vì OI = O'I' nên có phép dời hình F biến O thành Ovà I thành I, khi đó F biến [O; r] thành [O'; r] và biến [I; R] thành [I'; R].
Mặt khác F biến cặp tiếp tuyến chung ngoài AB và AC của hai đường tròn [O] và [I] thành cặp tiếp tuyến chung ngoài ABvà AC[hoặc thành ACvà AB], còn tiếp tuyến chung BC phải biến thành tiếp tuyến chung BC.
Suy ra F biến tam giác ABC thành tam giác ABChoặc thành tam giác ACB, tức là hai tam giác ABC và ABCbằng nhau.