Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân với các cạnh đáy AB =2a, CD = a và hai cạnh bên BC = AD = a, SO vuông góc với mp[ABC] trong đó O là trung điểm của AB, SO = a.
a] Chứng minh rằng điểm cách đều các điểm S, A, B, C, D thuộc đường thẳng SO. Tính khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đỉnh của hình chóp.
b] Tính góc giữa đường thẳng SO và mp[SCD].
Lời giải chi tiết
a] AO và DC song song và bằng nhau nên AD = OC mà AD = AO, từ đó OA = OC.
Tương tự, ta có OB = OD.
Do đó OA = OB = OC = OD.
Mặt khác SO vuông góc với mp[ABCD] nên mọi điểm trên SO cách đều các điểm A, B, C, D. Vì SA và SO cắt nhau nên xét đường trung trực của SA trong mp[SAB] thì nó cắt đường thẳng SO tại một điểm, đó là điểm cách đều năm đỉnh S, A, B, C, D. Vù SO = a, AO = a nên OS = OA.
Vậy O là điểm cách đều các điểm S, A, B, C, D. Do đó, khoảng cách từ điểm cách đều phải tìm đến các đỉnh bằng a.
b] Gọi M là trung điểm của CD thì \[OM \bot DC\] từ đó \[C{\rm{D}} \bot mp\left[ {OMS} \right]\].
Vậy nếu kẻ OH vuông góc với SM thì \[DC \bot OH\] từ đó \[OH \bot mp\left[ {SC{\rm{D}}} \right]\]
Như thế \[\widehat {H{\rm{S}}O}\] là góc giữa SO và mp[SCD].
Nhận thấy \[\widehat {H{\rm{S}}O} = \widehat {M{\rm{SO}}}\].
Cách 1.Xét tam giác SOM vuông tại O ta có:
\[tan\widehat {H{\rm{S}}O} = \tan \widehat {MOS} = {{OM} \over {OS}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over a} = {{\sqrt 3 } \over 2}\].
Cách 2.
Ta có:
\[\eqalign{ & {1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{S^2}}} + {1 \over {O{M^2}}} \cr & = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{{\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]}^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {4 \over {3{a^2}}} = {7 \over {3{a^2}}}. \cr} \]
Vậy \[OH = {{a\sqrt {21} } \over 7}\].
Do đó \[\sin \widehat {H{\rm{S}}O} = {{OH} \over {SO}} = {{{{a\sqrt {21} } \over 7}} \over a} = {{\sqrt {21} } \over 7}\].
Vậy góc giữa SO và mặt phẳng [SCD] là α mà \[\sin \alpha = {{\sqrt {21} } \over 7}\left[ {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right]\].