Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Lấy \[M\] là một điểm bất kì thuộc cạnh \[BC\]. Gọi \[MD\] là đường vuông góc kẻ từ \[M\] đến \[AB\], \[ME\] là đường vuông góc kẻ từ \[M\] đến \[AC\], \[O\] là trung điểm của \[DE\].
a] Chứng mình rằng ba điểm \[A, O, M\] thẳng hàng.
b] Khi điểm \[M\] di chuyển trên cạnh \[BC\] thì điểm \[O\] di chuyển trên đường nào ?
c] Điểm \[M\] ở vị trí nào trên cạnh \[BC\] thì \[AM\] có độ dài nhỏ nhất?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa độ dài cạnh ấy.
+] Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật là tứ giác có ba góc vuông.
Lời giải chi tiết
a] Tứ giác \[ADME\] có: \[\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {AD{\rm{M}}} = \widehat {A{\rm{EM}}} = {90^0}\left[ {giả \,\, thiết} \right]\]
\[\Rightarrow \] Tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật [dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật]
Vì \[O\] là trung điểm của đường chéo \[DE\] [giả thiết]
\[\Rightarrow \]\[O\] cũng là trung điểm của \[AM\] [tính chất hình chữ nhật]
Vậy \[A, O, M\] thẳng hàng.
b] Kẻ \[AH BC\], kẻ \[OK BC\]
Cách 1:
Ta có \[OA = OM\] [do \[O\] là trung điểm của \[AM\]]
\[OK // AH\] [do cùng vuông góc với \[BC\]].
\[\Rightarrow \] \[K\] là trung điểm của \[MH\] [Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba]
\[\Rightarrow \]\[OK =\dfrac{1}{2}AH\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
Điểm \[O\] cách đoạn \[BC\] cố định một khoảng không đổi bằng \[\dfrac{1}{2}AH\].
Mặt khác khi \[M\] trùng \[C\] thì \[O\] chính là trung điểm của \[AC\], khi \[M\] trùng \[B\] thì \[O\] chính là trung điểm của \[AB\].
Vậy \[O\] di chuyển trên đoạn thẳng \[PQ\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\].
Cách 2:
Vì \[O\] là trung điểm của \[AM\] nên \[HO\] là trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AM\]. Do đó \[OA = OH\]. Suy ra điểm \[O\] di chuyển trên đường trung trực của \[AH\].
Mặt khác vì \[M\] di chuyển trên đoạn \[BC\]. Vậy điểm \[O\] di chuyển trên đoạn thẳng \[PQ\] là đường trung bình của \[ABC\].
c] Ta có \[AH\] là đường cao hạ từ \[A\] đến \[BC\] do đó \[AM\ge AH\] [trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất].
Vậy \[AM\] nhỏ nhất bằng \[AH\] khi \[M\] trùng \[H\].